Katumbas, TI at TL na mga formula ng algebra ng lohika. Mga pangunahing katumbas. (Mga batas ng lohikal na operasyon). Ang batas ng duality. Batas ng Boolean Algebra ng Mga Iisang Elemento

Logics- isang agham na nag-aaral ng mga batas at anyo ng pag-iisip; ang doktrina ng mga pamamaraan ng pangangatwiran at ebidensya.

Ang mga batas ng mundo, ang kakanyahan ng mga bagay, ang karaniwan sa kanila, natututo tayo sa pamamagitan ng abstract na pag-iisip. Ang mga pangunahing anyo ng abstract na pag-iisip ay mga konsepto, paghatol at hinuha.

konsepto- isang paraan ng pag-iisip na sumasalamin sa mga mahahalagang katangian ng isang indibidwal na bagay o klase ng mga homogenous na bagay. Ang mga konsepto sa wika ay ipinahahayag sa mga salita.

Ang saklaw ng konsepto- isang set ng mga bagay, bawat isa ay may mga katangian na bumubuo sa nilalaman ng konsepto. Ang mga konsepto ng pangkalahatan at isahan ay nakikilala.

Ang mga sumusunod na ugnayan ng mga konsepto ay nakikilala sa dami:

pagkakakilanlan o coincidence of volumes, ibig sabihin ang volume ng isang konsepto ay katumbas ng volume ng isa pang konsepto;
pagpapailalim o pagsasama ng mga volume: ang dami ng isa sa mga konsepto ay ganap na kasama sa dami ng isa pa;
pagbubukod volume - isang kaso kung saan walang isang tampok na nasa dalawang volume;
interseksyon o bahagyang coincidence ng mga volume;
pagpapailalim volume - ang kaso kapag ang mga volume ng dalawang konsepto, hindi kasama ang isa't isa, ay kasama sa dami ng pangatlo.

Paghuhukom- ito ay isang anyo ng pag-iisip kung saan ang isang bagay ay pinagtitibay o tinatanggihan tungkol sa mga bagay, palatandaan o kanilang mga kaugnayan.

hinuha- isang anyo ng pag-iisip, kung saan mula sa isa o higit pang mga paghuhusga, na tinatawag na lugar, tayo, ayon sa ilang mga tuntunin ng hinuha, ay nakakakuha ng isang konklusyon ng paghatol.

Algebra sa malawak na kahulugan ng salita, ang agham ng mga pangkalahatang operasyon na katulad ng pagdaragdag at pagpaparami, na maaaring maisagawa hindi lamang sa mga numero, kundi pati na rin sa iba pang mga bagay sa matematika.

Mga halimbawa ng algebras: algebra ng mga natural na numero, algebra ng mga rational na numero, algebra ng polynomial, algebra ng mga vector, algebra ng matrices, algebra ng mga set, atbp. Ang mga bagay ng algebra ng lohika o Boolean algebra ay mga proposisyon.

pahayag- ito ay anumang pangungusap ng anumang wika (pahayag), ang nilalaman nito ay maaaring matukoy bilang totoo o mali.

Ang bawat panukala ay tama o mali; hindi ito maaaring magkasabay.

Sa natural na wika, ang mga pagbigkas ay ipinahayag sa mga pangungusap na paturol. Ang mga pangungusap na padamdam at interogatibo ay hindi mga pahayag.

Maaaring ipahayag ang mga pahayag gamit ang matematika, pisikal, kemikal at iba pang mga palatandaan. Mula sa dalawang numerical na expression, ang mga pahayag ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga ito sa pantay o hindi pagkakapantay-pantay na mga palatandaan.

Ang pahayag ay tinatawag simple lang(elementarya) kung walang bahagi nito ang mismong pahayag.

Ang isang pahayag na binubuo ng mga simpleng pahayag ay tinatawag pinagsama-sama(mahirap).

Ang mga simpleng pahayag sa algebra ng lohika ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin:
PERO= (Si Aristotle ang nagtatag ng lohika),
AT= (Tumubo ang mga saging sa mga puno ng mansanas).

Ang pagbibigay-katwiran sa katotohanan o kamalian ng mga simpleng pahayag ay napagpasyahan sa labas ng algebra ng lohika. Halimbawa, ang katotohanan o kamalian ng pahayag na: "Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees" ay itinatag ng geometry, at - sa geometry ni Euclid ang pahayag na ito ay totoo, at sa geometry ni Lobachevsky ito ay mali.

Ang isang totoong pahayag ay itinalaga ng 1, isang mali - 0. Kaya, PERO = 1, AT = 0.

Ang algebra ng lohika ay nakuha mula sa semantikong nilalaman ng mga pahayag. Siya ay interesado lamang sa isang katotohanan - ang ibinigay na pahayag ay totoo o mali, na ginagawang posible upang matukoy ang katotohanan o kamalian ng mga tambalang pahayag sa pamamagitan ng mga algebraic na pamamaraan.

Mga pangunahing operasyon ng propositional algebra.

Lohikal na operasyon CONJUNCTION(lat. conjunctio - Ibind):

sa likas na wika ay tumutugma sa pang-ugnay at;
pagtatalaga: & ;
sa mga programming language ang notasyon ay: at;
ibang pangalan: lohikal na pagpaparami.

Ang pang-ugnay ay isang lohikal na operasyon na nag-uugnay sa bawat dalawang simpleng pahayag sa isang tambalang pahayag na totoo kung at kung ang parehong orihinal na mga pahayag ay totoo.

Talahanayan ng katotohanan ng pang-ugnay:

PERO	AT	PERO&AT
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Lohikal na operasyon DISJUNCTION(lat. disjunctio - I distinguish):

Ang disjunction ay isang lohikal na operasyon na nag-uugnay sa bawat dalawang simpleng pahayag sa isang tambalang pahayag na mali kung at kung ang parehong orihinal na mga pahayag ay mali at totoo kapag kahit isa sa dalawang pahayag na bumubuo nito ay totoo.

Talahanayan ng katotohanan ng disjunction:

PERO	AT	PEROAT
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Lohikal na operasyon INVERSE(lat. inversio - baligtarin):

Ang negasyon ay isang lohikal na operasyon na nag-uugnay sa bawat simpleng pahayag sa isang tambalang pahayag, na binubuo sa katotohanan na ang orihinal na pahayag ay tinanggihan.

Talahanayan ng Negatibong Katotohanan:

PERO	hindi A
0	1
1	0

Ang logical addition function na OR (LogValue1;LogValue2;…) ay nagsusuri sa TRUE (True) lamang kapag ang kahit isang boolean argument ay TRUE (1).

Ang logical negation function NOT(LogValue) ay nagsusuri sa TRUE (True) kapag ang lohikal na argumento ay FALSE (0) at, sa kabaligtaran, ang value na FALSE (False) kapag ang logical argument ay TRUE (1).

Lohikal na operasyon IMPLIKASYON(lat. implicatio - malapit kong iniuugnay):

Ang implikasyon ay isang lohikal na operasyon na nag-uugnay sa bawat dalawang simpleng pahayag sa isang tambalang pahayag na mali kung at kung ang kundisyon (unang pahayag) ay totoo at ang kahihinatnan (ang pangalawang pahayag) ay mali.

Talahanayan ng katotohanan ng implikasyon:

PERO	AT	PEROAT
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Lohikal na operasyon EQUIVALENCE(lat. aequivalens - katumbas):

sa natural na wika ay tumutugma sa mga liko ng pagsasalita pagkatapos at pagkatapos lamang at kung at kung lamang;
pagtatalaga: ~ ;
ibang pangalan: pagkakapantay-pantay.

Ang equivalence ay isang lohikal na operasyon na nagtatalaga sa bawat dalawang simpleng pahayag ng tambalang pahayag na totoo kung at kung ang parehong orihinal na pahayag ay parehong totoo o parehong mali.

Talahanayan ng katotohanan ng equivalence:

PERO	AT	PERO~AT
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Ang mga lohikal na operasyon ay may sumusunod na precedence: mga aksyon sa mga bracket, inversion, &, , ~.

Ang isang talahanayan na nagpapakita kung anong mga halaga ang kinukuha ng isang tambalang pahayag para sa lahat ng mga kumbinasyon (set) ng mga halaga ng mga simpleng pahayag nito ay tinatawag talahanayan ng katotohanan tambalang pagbigkas.

Ang mga compound na pahayag sa algebra ng lohika ay isinulat gamit ang mga lohikal na expression. Para sa anumang lohikal na pagpapahayag, sapat na ang simpleng pagbuo ng talahanayan ng katotohanan.

Ang algorithm para sa pagbuo ng isang talahanayan ng katotohanan:

bilangin ang bilang ng mga variable n sa isang lohikal na pagpapahayag;
tukuyin ang bilang ng mga hilera sa isang talahanayan m = 2 n ;
bilangin ang bilang ng mga lohikal na operasyon sa formula;
itatag ang pagkakasunud-sunod ng pagpapatupad ng mga lohikal na operasyon, na isinasaalang-alang ang mga bracket at priyoridad;
matukoy ang bilang ng mga column sa talahanayan: ang bilang ng mga variable kasama ang bilang ng mga operasyon;
isulat ang mga hanay ng mga variable ng input, na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga ito ay isang natural na serye ng mga n-bit na binary na numero mula 0 hanggang 2 n -1;
punan ang talahanayan ng katotohanan sa pamamagitan ng mga haligi, na nagsasagawa ng mga lohikal na operasyon alinsunod sa pagkakasunud-sunod na itinatag sa sugnay 4.

Ang mga hanay ng mga variable ng input, upang maiwasan ang mga error, ay inirerekomenda na ilista bilang mga sumusunod:
a) matukoy ang bilang ng mga hanay ng mga variable ng input;
b) hatiin ang haligi ng mga halaga ng unang variable sa kalahati at punan ang itaas na bahagi ng haligi ng 0, at ang mas mababang bahagi -1;
c) hatiin ang hanay ng mga halaga ng pangalawang variable sa apat na bahagi at punan ang bawat quarter ng mga alternating na grupo ng 0 o 1, simula sa pangkat 0;
d) patuloy na hatiin ang mga haligi ng mga halaga ng kasunod na mga variable sa pamamagitan ng 8, 16, atbp. mga bahagi at punan ang mga ito ng mga pangkat 0 o 1 hanggang ang mga pangkat 0 at 1 ay hindi bubuo ng isang karakter.

Halimbawa. Para sa formula A&(B C), bumuo ng talahanayan ng katotohanan sa algebraically at gamit ang mga spreadsheet.

Ang bilang ng mga boolean variable ay 3, samakatuwid, ang bilang ng mga row sa talahanayan ng katotohanan ay dapat na 2 3 = 8.

Ang bilang ng mga lohikal na operasyon sa formula ay 5, samakatuwid, ang bilang ng mga haligi sa talahanayan ng katotohanan ay dapat na 3 + 5 = 8.

PERO	AT	C	ATC	PERO & (ATC)
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Boolean function tawagan ang function F(X 1, X 2, ..., X n), na ang mga argumento X 1, X 2, ..., X n(mga independiyenteng variable) at ang function mismo (dependent variable) ay kumukuha ng mga halaga 0 o 1.

Ang isang talahanayan na nagpapakita kung ano ang mga halaga ng isang lohikal na pag-andar para sa lahat ng mga kumbinasyon ng mga halaga ng mga argumento nito ay tinatawag na talahanayan ng katotohanan ng isang lohikal na function. Talahanayan ng katotohanan ng function ng lohika n Ang mga argumento ay naglalaman ng 2 n mga linya, n mga column ng value ng argument at 1 column ng value ng function.

Maaaring tukuyin ang mga function ng lohika sa isang tabular na paraan o analytically - sa anyo ng mga naaangkop na formula.

Kung ang isang lohikal na function ay kinakatawan gamit ang disjunctions, conjunctions at inversions, kung gayon ang form na ito ng representasyon ay tinatawag na normal.

Mayroong 16 na magkakaibang logical function mula sa dalawang variable.

Mga expression ng Boolean tinawag katumbas, kung ang kanilang mga halaga ng katotohanan ay nag-tutugma para sa anumang mga halaga ng mga lohikal na variable na kasama sa kanila.

Sa algebra ng lohika, mayroong isang bilang ng mga batas na nagpapahintulot sa katumbas na pagbabago ng mga lohikal na expression. Ilahad natin ang mga ugnayang sumasalamin sa mga batas na ito.

Ang batas ng double negation:
hindi (hindi A) = A.
Ang double negation ay hindi kasama ang negation.
Commutative (commutative) na batas:
- para sa lohikal na karagdagan:
A B = B A;

A&B=B&A.
Ang resulta ng operasyon sa mga pahayag ay hindi nakadepende sa pagkakasunud-sunod kung saan kinuha ang mga pahayag na ito.
Associative (associative) batas:
- para sa lohikal na karagdagan:
(A B) C = A (B C);
Para sa lohikal na pagpaparami:
(A & B) at C = A & (B & C).
Sa parehong mga palatandaan, ang mga bracket ay maaaring ilagay nang arbitraryo o kahit na tinanggal.
Distributive (distributive) na batas:
- para sa lohikal na karagdagan:
(A B) at C = (A & C) (B & C);
Para sa lohikal na pagpaparami:
(A & B) C = (A C) at (B C).
Tinutukoy ang panuntunan para sa pag-bracket ng pangkalahatang pahayag.
Batas ng pangkalahatang pagbabaligtad (mga batas ni Morgan):
- para sa lohikal na karagdagan:
;
Para sa lohikal na pagpaparami:
.
Ang batas ng idempotence (mula sa mga salitang Latin na idem - pareho at potens - malakas; literal - katumbas):
- para sa lohikal na karagdagan:
A A = A;
Para sa lohikal na pagpaparami:
A&A=A.
Ang ibig sabihin ng batas ay walang exponents.
Mga patuloy na batas sa pagbubukod:
- para sa lohikal na karagdagan:
A 1 = 1, A 0 = A;
Para sa lohikal na pagpaparami:
A&1 = A, A&0 = 0.
Ang batas ng kontradiksyon:
A & (hindi A) = 0.
Imposibleng magkasabay na magkatotoo ang mga salungat na pahayag.
Batas ng pagbubukod ng ikatlo:
A (hindi A) = 1.
Sa dalawang magkasalungat na pahayag tungkol sa parehong paksa, ang isa ay palaging totoo, at ang pangalawa ay mali, ang pangatlo ay hindi ibinigay.
Batas sa pagsipsip:
- para sa lohikal na karagdagan:
A(A&B)=A;
Para sa lohikal na pagpaparami:
A at (A B) = A.
Ang batas ng pagbubukod (gluing):
- para sa lohikal na karagdagan:
(A & B) (& B) = B;
Para sa lohikal na pagpaparami:
(A B) at (B) = B.
Batas ng kontraposisyon (reversal rule):
(AB) = (BA).
Ang bisa ng mga batas sa itaas ay maaaring patunayan sa isang tabular na paraan: isulat ang lahat ng mga hanay ng mga halaga A at B, kalkulahin ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng expression na pinatunayan sa kanila, at siguraduhin na ang tugma ang mga resultang column.

Halimbawa. Pasimplehin ang boolean expression:

Efimova O., Morozov V., Ugrinovich N. Kurso ng teknolohiya ng computer na may mga pangunahing kaalaman sa informatics. Textbook para sa mga senior class. - M.: LLC "AST Publishing House"; ABF, 2000
Taskbook-workshop sa informatics. Sa 2 volume / Ed. I.Semakina, E.Khenner. - M.: Basic Knowledge Laboratory, 2001
Ugrinovich N. Informatics at mga teknolohiya ng impormasyon. Baitang 10-11 - M .: Basic Knowledge Laboratory, JSC "Mga aklat-aralin sa Moscow", 2001

Mga gawain at pagsubok sa paksang "Mga Batayan ng pormal na lohika"

I-access ang DBMS Logic - Lohikal at mathematical na mga modelo Grade 10
Aralin: 5 Takdang-Aralin: 9 Pagsusulit: 1
Paglutas ng mga lohikal na problema sa pamamagitan ng matematikal na lohika
Aralin: 4 Takdang-Aralin: 6 Pagsusulit: 1

Mahal na mag-aaral!

Ang Gawain 1 ay naglalahad ng tatlong paksa na nagiging batayan ng kursong "Teknolohiya ng Impormasyon". Umaasa kami na mayroon ka nang kaunting karanasan sa isang computer at nakilala ang device nito sa middle school.

Ang paksang "Computer communications. Internet" ay may malaking interes kamakailan, maraming kabataan ang gumugugol ng halos lahat ng kanilang libreng oras sa pandaigdigang network. Nais kong ipaalala sa iyo na ang karunungan sa Internet ay nagpapahiwatig hindi lamang ng kakayahang "mag-surf" sa network at bisitahin ang mga kagiliw-giliw na "chat" paminsan-minsan, ngunit maunawaan din ang mga prinsipyo ng pag-aayos ng impormasyon sa pandaigdigang network, maunawaan ang istraktura nito, protocol, magagawang i-configure ang browser at mga programa sa e-mail, upang malaman at obserbahan ang etika ng pagtatrabaho sa Internet, at siyempre gamitin ang network para sa pinakamahalagang layunin nito - upang palawakin ang mga abot-tanaw ng isang tao.

Hindi namin sinakop ang teknolohiya ng paglikha ng mga Web site sa kursong ito, sa paniniwalang ang pinakamababang kaalaman para sa paglikha ng web home page ay maaaring makuha mula sa karagdagang literatura. Ang paglikha ng mga site sa isang propesyonal na antas ay nangangailangan ng ilang pagsasanay, na batay sa mga kasanayan sa pagtatrabaho sa teksto at mga graphics, pati na rin ang kakayahang mag-program.

Ang paksang "Logic" ay kadalasang nagdudulot ng ilang kalituhan sa mga mag-aaral, hindi lahat ay nauunawaan ang kahalagahan ng pag-aaral ng paksang ito. Nais kong tandaan na ang kaalaman sa lohika ay mahalaga hindi lamang bilang isang batayan para sa karagdagang pag-aaral ng mga programming language at mga prinsipyo ng pagtatrabaho sa mga database, kundi pati na rin bilang isang "simulator" para sa pagbuo ng isang espesyal na uri ng pag-iisip. Ang isang taong mahusay sa pag-aaral ng lohika ay may napakalaking pakinabang sa komunikasyon. Napaka-flattering marinig sa iyong address: "Ito ay lohikal", "may lohika sa iyong pangangatwiran."

Ang aralin sa informatics ay idinisenyo para sa mga mag-aaral ng ika-10 baitang ng isang pangkalahatang edukasyon na paaralan, ang kurikulum na kinabibilangan ng seksyong "Algebra of Logic". Ang paksang ito ay napakahirap para sa mga mag-aaral, kaya ako, bilang isang guro, ay nais na interesado sa kanila sa pag-aaral ng mga batas ng lohika, pagpapasimple ng mga lohikal na pagpapahayag at paglapit sa solusyon ng mga lohikal na problema nang may interes. Sa karaniwang anyo, ang pagbibigay ng mga aralin sa paksang ito ay nakakapagod at nakakabagabag, at ang ilang mga kahulugan ay hindi palaging malinaw sa mga bata. Kaugnay ng pagkakaloob ng espasyo ng impormasyon, nagkaroon ako ng pagkakataong mai-post ang aking mga aralin sa shell ng "pag-aaral". Ang mga mag-aaral, na nakarehistro dito, ay maaaring dumalo sa kursong ito sa kanilang libreng oras at muling basahin ang hindi malinaw sa aralin. Ang ilang mga mag-aaral, na lumiban sa mga aralin dahil sa karamdaman, ay bumawi sa napalampas na paksa sa bahay o sa paaralan at laging handa para sa susunod na aralin. Ang paraan ng pagtuturo na ito ay nababagay sa maraming bata, at ang mga batas na iyon na hindi nila naiintindihan ay natutunan na ngayon sa anyo ng computer nang mas madali at mas mabilis. Nag-aalok ako ng isa sa mga araling ito sa informatics, na isinasagawa nang integrative sa ICT.

Lesson plan

Paliwanag ng bagong materyal, na may paglahok ng isang computer - 25 minuto.
Mga pangunahing konsepto at kahulugan na inilatag sa "pag-aaral" - 10 minuto.
Materyal para sa mausisa - 5 minuto.
Takdang-aralin - 5 minuto.

1. Pagpapaliwanag ng bagong materyal

Mga batas ng pormal na lohika

Ang pinakasimple at pinakakailangang tunay na koneksyon sa pagitan ng mga kaisipan ay ipinahayag sa mga pangunahing batas ng pormal na lohika. Ito ang mga batas ng pagkakakilanlan, hindi pagkakasalungatan, hindi kasama sa gitna, sapat na dahilan.

Ang mga batas na ito ay pundamental dahil sa lohika sila ay gumaganap ng isang partikular na mahalagang papel, sila ang pinaka pangkalahatan. Pinapayagan ka ng mga ito na pasimplehin ang mga lohikal na expression at bumuo ng mga hinuha at patunay. Ang unang tatlo sa mga batas sa itaas ay kinilala at binuo ni Aristotle, at ang batas ng sapat na katwiran - ni G. Leibniz.

Ang batas ng pagkakakilanlan: sa proseso ng isang tiyak na pangangatwiran, ang bawat konsepto at paghatol ay dapat na magkapareho sa sarili nito.

Ang batas ng di-pagsalungat: imposible na ang isa at ang parehong mata sa parehong oras ay at hindi likas sa parehong bagay sa parehong paggalang. Ibig sabihin, imposibleng pagtibayin at tanggihan ang isang bagay sa parehong oras.

Batas ng hindi kasama sa gitna: ng dalawang magkasalungat na proposisyon, ang isa ay totoo, ang isa ay mali, at ang pangatlo ay hindi ibinigay.

Batas ng Sapat na Dahilan: Ang bawat tunay na kaisipan ay dapat na may sapat na katwiran.

Ang huling batas ay nagsasabi na ang patunay ng isang bagay ay nagpapahiwatig ng pagbibigay-katwiran ng tiyak at tanging tunay na mga kaisipan. Ang mga maling kaisipan ay hindi mapapatunayan. May magandang kasabihan sa Latin: "Ang magkamali ay karaniwan sa bawat tao, ngunit ang tanga lamang ang igiit ang pagkakamali." Walang formula para sa batas na ito, dahil mayroon lamang itong substantive na katangian. Ang mga totoong paghatol, makatotohanang materyal, istatistikal na datos, mga batas ng agham, axiom, napatunayang teorema ay maaaring gamitin bilang mga argumento upang kumpirmahin ang isang tunay na kaisipan.

Mga Batas ng Propositional Algebra

Ang algebra ng mga proposisyon (algebra ng lohika) ay isang seksyon ng matematikal na lohika na nag-aaral ng mga lohikal na operasyon sa mga proposisyon at ang mga panuntunan para sa pagbabago ng mga kumplikadong proposisyon.

Kapag nilulutas ang maraming mga lohikal na problema, madalas na kinakailangan upang gawing simple ang mga formula na nakuha sa pamamagitan ng pag-formalize ng kanilang mga kondisyon. Ang pagpapasimple ng mga formula sa algebra ng mga proposisyon ay isinasagawa batay sa katumbas na pagbabagong-anyo batay sa mga pangunahing lohikal na batas.

Ang mga batas ng algebra ng mga proposisyon (algebra ng lohika) ay tautologies.

Minsan ang mga batas na ito ay tinatawag na theorems.

Sa propositional algebra, ang mga lohikal na batas ay ipinahayag bilang pagkakapantay-pantay ng mga katumbas na formula. Sa mga batas, ang mga naglalaman ng isang variable ay partikular na nakikilala.

Ang unang apat sa mga sumusunod na batas ay ang mga pangunahing batas ng propositional algebra.

Batas sa pagkakakilanlan:

Ang bawat konsepto at paghatol ay magkapareho sa sarili nito.

Ang batas ng pagkakakilanlan ay nangangahulugan na sa proseso ng pangangatwiran ay hindi maaaring palitan ng isa ang isang kaisipan sa isa pa, ang isang konsepto sa isa pa. Kung nilalabag ang batas na ito, posible ang mga lohikal na pagkakamali.

Halimbawa, talakayan Tama ang sinasabi nila na dadalhin ka ng dila sa Kyiv, ngunit bumili ako ng pinausukang dila kahapon, na nangangahulugang ngayon ay ligtas akong makapunta sa Kyiv hindi tama, dahil ang una at pangalawang salitang "wika" ay tumutukoy sa magkaibang mga konsepto.

Sa talakayan: Ang paggalaw ay walang hanggan. Ang pagpasok sa paaralan ay paggalaw. Samakatuwid, ang pagpasok sa paaralan ay magpakailanman ang salitang "galaw" ay ginagamit sa dalawang magkaibang kahulugan (ang una - sa pilosopikal na kahulugan - bilang isang katangian ng bagay, ang pangalawa - sa karaniwang kahulugan - bilang isang aksyon upang lumipat sa espasyo), na humahantong sa isang maling konklusyon.

Batas ng hindi pagsalungat:

Ang isang panukala at ang negasyon nito ay hindi maaaring magkasabay na totoo. Ibig sabihin, kung ang pahayag PERO ay totoo, pagkatapos ay ang negasyon nito hindi A dapat mali (at kabaliktaran). Kung gayon ang kanilang produkto ay palaging hindi totoo.

Ito ang pagkakapantay-pantay na kadalasang ginagamit kapag pinapasimple ang mga kumplikadong lohikal na expression.

Minsan ang batas na ito ay binabalangkas tulad ng sumusunod: dalawang pahayag na magkasalungat sa isa't isa ay hindi maaaring magkatotoo sa parehong oras. Mga halimbawa ng hindi pagsunod sa batas ng hindi pagkakasalungatan:

1. May buhay sa Mars at walang buhay sa Mars.

2. Nagtapos si Olya sa high school at nasa ika-10 baitang.

Batas ng ibinukod na gitna:

Sa parehong sandali sa oras, ang pahayag ay maaaring tama o mali, walang pangatlo. Totoo rin PERO, o hindi A. Mga halimbawa ng pagpapatupad ng batas ng ibinukod na gitna:

1. Ang bilang na 12345 ay pantay o kakaiba, walang pangatlo.

2. Ang kumpanya ay tumatakbo sa isang lugi o breakeven.

3. Ang likidong ito ay maaaring acid o hindi.

Ang batas ng ibinukod na gitna ay hindi isang batas na kinikilala ng lahat ng mga logician bilang isang unibersal na batas ng lohika. Ang batas na ito ay inilapat kung saan ang kaalaman ay tumatalakay sa isang mahigpit na sitwasyon: "alinman - o", "totoo-mali". Kung saan walang katiyakan (halimbawa, sa pangangatwiran tungkol sa hinaharap), ang batas ng ibinukod na gitna ay madalas na hindi mailalapat.

Isaalang-alang ang sumusunod na pahayag: Mali ang mungkahing ito. Hindi ito maaaring totoo dahil sinasabing ito ay hindi totoo. Ngunit hindi rin ito maaaring mali, dahil ito ay magiging totoo. Ang pahayag na ito ay hindi totoo o mali, at samakatuwid ang batas ng ibinukod na gitna ay nilalabag.

Kabalintunaan(Greek paradoxos - hindi inaasahan, kakaiba) sa halimbawang ito ay nagmula sa katotohanan na ang pangungusap ay tumutukoy sa sarili nito. Ang isa pang sikat na kabalintunaan ay ang problema sa hairdresser: Sa isang lungsod, pinuputol ng isang tagapag-ayos ng buhok ang buhok ng lahat ng residente, maliban sa mga nagpagupit ng sarili nilang buhok. Sino ang nagpagupit ng buhok ng barbero? Sa lohika, dahil sa pormalidad nito, hindi posibleng makuha ang anyo ng naturang self-referential statement. Ito ay muling nagpapatunay sa ideya na sa tulong ng algebra ng lohika imposibleng ipahayag ang lahat ng posibleng mga kaisipan at argumento. Ipakita natin kung paano, batay sa kahulugan ng propositional equivalence, ang iba pang mga batas ng propositional algebra ay maaaring makuha.

Halimbawa, tukuyin natin kung ano ang katumbas ng (katumbas ng) PERO(dalawang beses hindi PERO, ibig sabihin, negasyon ng negasyon PERO). Upang gawin ito, bubuo kami ng talahanayan ng katotohanan:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng equivalence, dapat nating hanapin ang column na ang mga value ay tumutugma sa mga value ng column PERO. Ito ang magiging column PERO.

Kaya, maaari tayong magbalangkas dobleng batasmga negasyon:

Kung tinanggihan natin ang ilang pahayag nang dalawang beses, ang resulta ay ang orihinal na pahayag. Halimbawa, ang pahayag PERO= Matroskin- pusa ay katumbas ng sinasabi A = Hindi totoo na hindi pusa si Matroskin.

Katulad nito, ang mga sumusunod na batas ay maaaring makuha at ma-verify:

Mga patuloy na katangian:

Mga Batas ng Idempotency:

Kahit ilang beses natin ulitin: TV sa o TV sa o TV sa... hindi magbabago ang kahulugan ng pangungusap. Gayundin mula sa pag-uulit Mainit sa labas, mainit sa labas... hindi isang degree na mas mainit.

Ang mga batas ng commutativity:

A v B = B v A

A & B = B & A

operand PERO at AT sa mga operasyon ng disjunction at conjunction ay maaaring palitan.

Mga batas sa asosasyon:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) at C.

Kung ginagamit lang ng expression ang disjunction operation o ang conjunction operation lang, maaari mong pabayaan ang mga bracket o ayusin ang mga ito nang basta-basta.

Mga batas sa pamamahagi:

A v (B & C) = (A v B) at(A v C)

(distributive disjunction
tungkol sa conjunction)

A at (B v C) = (A & B) v (A at C)

(distributivity ng conjunction
tungkol sa disjunction)

Ang distributive law of conjunction na may paggalang sa disjunction ay katulad ng distributive law sa algebra, ngunit ang batas ng distributive disjunction na may paggalang sa conjunction ay walang analogue, ito ay may bisa lamang sa lohika. Samakatuwid, kailangan itong patunayan. Pinakamabuting gawin ang patunay gamit ang talahanayan ng katotohanan:

Mga batas sa pagsipsip:

A v (A & B) = A

A at (A v B) = A

Isagawa ang patunay ng mga batas sa pagsipsip sa iyong sarili.

Mga batas ni De Morgan:

Mga pandiwang pormulasyon ng mga batas ni de Morgan:

Panuntunan ng Mnemonic: sa kaliwang bahagi ng pagkakakilanlan, ang operasyon ng negasyon ay nasa itaas ng buong pahayag. Sa kanang bahagi, ito ay tila nasira at ang negation ay nakatayo sa itaas ng bawat isa sa mga simpleng pahayag, ngunit sa parehong oras ang operasyon ay nagbabago: disjunction sa conjunction at vice versa.

Mga halimbawa ng pagpapatupad ng batas ni de Morgan:

1) Pahayag Hindi totoo na marunong akong Arabic o Chinese ay magkapareho sa pahayag Hindi ako marunong ng Arabic at hindi ako marunong ng Chinese.

2) Pahayag Hindi totoo na natutunan ko ang aking aralin at nakakuha ako ng D dito ay magkapareho sa pahayag Alinman sa hindi ko natutunan ang aralin, o hindi ako nakakuha ng A dito.

Pagpapalit ng implikasyon at pagpapatumbas ng mga operasyon

Ang mga pagpapatakbo ng implikasyon at equivalence ay minsan ay hindi kabilang sa mga lohikal na pagpapatakbo ng isang partikular na computer o compiler mula sa isang programming language. Gayunpaman, ang mga operasyong ito ay kinakailangan para sa paglutas ng maraming problema. May mga panuntunan para sa pagpapalit ng mga operasyong ito ng mga pagkakasunod-sunod ng negation, disjunction, at conjunction operations.

Kaya, palitan ang operasyon implikasyon posible ayon sa sumusunod na tuntunin:

Upang palitan ang operasyon pagkakapantay-pantay may dalawang patakaran:

Madaling i-verify ang bisa ng mga formula na ito sa pamamagitan ng pagbuo ng mga talahanayan ng katotohanan para sa kanan at kaliwang bahagi ng parehong pagkakakilanlan.

Ang kaalaman sa mga alituntunin para sa pagpapalit ng mga operasyon ng implikasyon at katumbas ay nakakatulong, halimbawa, upang wastong mabuo ang negasyon ng isang implikasyon.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Hayaang ibigay ang pahayag:

E = Hindi totoo na kapag nanalo ako sa kompetisyon, makakakuha ako ng premyo.

Hayaan PERO= Ako ang mananalo sa kompetisyon

B = Makakatanggap ako ng premyo.

Kaya naman, E = mananalo ako sa kompetisyon, ngunit hindi ako makakatanggap ng premyo.

Interesado din ang mga sumusunod na patakaran:

Maaari mo ring patunayan ang kanilang bisa gamit ang mga talahanayan ng katotohanan.

Ang kanilang pagpapahayag sa natural na wika ay kawili-wili.

Halimbawa, ang parirala

Kung kumain ng pulot si Winnie the Pooh, busog siya

ay magkapareho sa parirala

Kung hindi busog si Winnie the Pooh, hindi siya kumain ng pulot.

Pagsasanay: mag-isip ng mga parirala-halimbawa sa mga panuntunang ito.

2. Pangunahing konsepto at kahulugan sa Appendix 1

3. Materyal para sa mausisa sa Appendix 2

4. Takdang-Aralin

1) Alamin ang mga batas ng lohika gamit ang kursong Algebra of Logic na matatagpuan sa espasyo ng impormasyon (www.learning.9151394.ru).

2) Suriin ang patunay ng mga batas ni De Morgan sa isang PC sa pamamagitan ng paggawa ng talahanayan ng katotohanan.

Mga aplikasyon

Pangunahing konsepto at kahulugan (

§apat. Katumbas, TI at TL na mga formula ng algebra ng lohika. Mga pangunahing katumbas. (Mga batas ng lohikal na operasyon). Ang batas ng duality.

Kahulugan.

Dalawang formula ng algebra ng logic A at B ay tinatawag na EQUIVALENT kung kukuha sila ng parehong mga lohikal na halaga sa anumang hanay ng mga elementarya na proposisyon na kasama sa mga formula. Ang equivalence ng mga formula ay ilalarawan ng sign º, at ang notation na A ºB ay nangangahulugan na ang mga formula A at B ay katumbas.

Ang Formula A ay tinatawag na IDENTICALLY TRUE (o TAUTOLOGY) kung kukuha ito ng value 1 para sa lahat ng value ng mga variable na kasama dito.

Ang isang formula ay tinatawag na IDENTICALLY FALSE (o CONTRADICTION) kung kukuha ito ng value na 0 para sa lahat ng value ng mga variable na kasama dito.

Mayroong sumusunod na koneksyon sa pagitan ng mga konsepto ng equivalence at equivalence: kung ang mga formula A at B ay katumbas, kung gayon ang formula A"B ay isang tautology, at vice versa, kung ang formula A"B ay isang tautology, kung gayon ang mga formula A at B ay katumbas.

Ang pinakamahalagang equivalence ng algebra ng logic ay maaaring hatiin sa tatlong grupo.

1. Mga pangunahing katumbas.

Mga batas ng kawalan ng lakas.

Batas ng kontradiksyon

Batas ng ibinukod na gitna

dobleng negatibong batas

mga batas sa pagsipsip

2. Mga katumbas na nagpapahayag ng ilang lohikal na operasyon sa mga tuntunin ng iba.

Narito ang 3, 4, 5, 6 ay mga batas ni Morgan.

Malinaw na ang mga katumbas na 5 at 6 ay nakuha mula sa mga katumbas na 3 at 4, ayon sa pagkakabanggit, kung kukuha tayo ng mga negasyon mula sa parehong bahagi ng huli at gagamitin ang batas ng pag-alis ng mga dobleng negasyon.

Kaya, ang unang apat na katumbas ay nangangailangan ng patunay. Patunayan natin ang isa sa kanila: ang una.

Dahil para sa parehong mga lohikal na halaga x at y ang mga formula ay totoo https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Samakatuwid, sa sa kasong ito, ang parehong mga bahagi ng equivalence ay may parehong tunay na halaga.

Hayaan ngayon ang x at y ay may magkaibang mga lohikal na halaga. Pagkatapos ay ang katumbas at isa sa dalawang implikasyon o magiging mali. Ngunit sa parehong oras, ang pang-ugnay ay magiging mali din. .

Kaya, sa kasong ito, ang parehong bahagi ng equivalence ay may parehong lohikal na kahulugan.

Ang mga katumbas 2 at 4 ay napatunayang magkatulad.

Ito ay sumusunod mula sa mga katumbas ng pangkat na ito na ang anumang pormula ng algebra ng lohika ay maaaring palitan ng isang pormula na katumbas nito, na naglalaman lamang ng dalawang lohikal na operasyon: conjunction at negation o disjunction at negation.

Ang karagdagang pagbubukod ng mga lohikal na operasyon ay hindi posible. Kaya, kung gagamit lamang tayo ng pang-ugnay, kung gayon ang gayong pormula bilang negasyon ay hindi maaaring ipahayag gamit ang operasyong pang-ugnay.

Gayunpaman, may mga operasyon kung saan maaaring ipahayag ang alinman sa limang lohikal na operasyon na ginagamit namin. Ang ganitong operasyon ay, halimbawa, ang operasyong "Schaeffer's Stroke". Ang operasyong ito ay ipinahiwatig ng simbolo ½ kaliwa " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Ang mga modernong kompyuter na nakabatay sa "sinaunang" mga elektronikong kompyuter ay nakabatay sa ilang mga postulate bilang mga pangunahing prinsipyo ng pagpapatakbo. Tinatawag silang mga batas ng algebra ng lohika. Sa kauna-unahang pagkakataon, ang gayong disiplina ay inilarawan (siyempre, hindi sa mas maraming detalye tulad ng sa modernong anyo nito) ng sinaunang siyentipikong Griyego na si Aristotle.

Kumakatawan sa isang hiwalay na sangay ng matematika, kung saan pinag-aaralan ang propositional calculus, ang algebra ng lohika ay may isang bilang ng mga mahusay na tinukoy na konklusyon at konklusyon.

Upang mas maunawaan ang paksa, susuriin natin ang mga konsepto na makakatulong sa hinaharap upang matutunan ang mga batas ng algebra ng lohika.

Marahil ang pangunahing termino sa disiplinang pinag-aaralan ay isang pahayag. Ito ay isang pahayag na hindi maaaring parehong mali at totoo sa parehong oras. Siya ay palaging isa lamang sa mga katangiang ito. Kasabay nito, karaniwang tinatanggap na ibigay ang halaga 1 sa katotohanan, 0 sa kasinungalingan, at tawagin ang mismong pahayag na isang uri ng A, B, C. Sa madaling salita, ang formula A=1 ay nangangahulugan na ang pahayag A ay totoo. Ang mga ekspresyon ay maaaring pangasiwaan sa iba't ibang paraan. Isaalang-alang natin sa madaling sabi ang mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Tandaan din na ang mga batas ng algebra ng lohika ay hindi maaaring makabisado nang hindi nalalaman ang mga tuntuning ito.

1. Disjunction dalawang pahayag - ang resulta ng operasyon na "o". Maaari itong maging mali o totoo. Ginagamit ang character na "v".

2. Pang-ugnay. Ang resulta ng naturang aksyon, na isinagawa gamit ang dalawang proposisyon, ay magiging bago lamang kung ang parehong orihinal na proposisyon ay totoo. Ang operasyong "at", ang simbolo na "^" ay ginagamit.

3. Implikasyon."Kung A, pagkatapos B" na operasyon. Ang resulta ay isang pahayag na mali lamang kung ang A ay tama at ang B ay mali. Ang simbolo na "->" ay ginagamit.

4. Pagtutumbas. Operasyon "A kung at kung B lamang kapag". Ang pahayag na ito ay totoo kung ang parehong mga variable ay may parehong halaga. Ang simbolo "<->».

Mayroon ding ilang mga operasyon na malapit sa implikasyon, ngunit hindi sila isasaalang-alang sa artikulong ito.

Ngayon tingnan natin ang mga pangunahing batas ng algebra ng lohika:

1. Ang commutative o commutative ay nagsasaad na ang pagbabago ng mga lugar ng mga lohikal na termino sa mga operasyon ng conjunction o disjunction ay hindi nakakaapekto sa resulta.

2. Nag-uugnay o nag-uugnay. Ayon sa batas na ito, ang mga variable sa mga operasyon ng conjunction o disjunction ay maaaring pagsamahin sa mga grupo.

3. Distribusyon o pamamahagi. Ang kakanyahan ng batas ay ang parehong mga variable sa mga equation ay maaaring alisin sa mga bracket nang hindi binabago ang lohika.

4. Batas ni De Morgan (inversion o negation). Ang negation ng operasyon ng conjunction ay katumbas ng disjunction ng negation ng orihinal na mga variable. Ang negation ng disjunction, sa turn, ay katumbas ng conjunction ng negation ng parehong mga variable.

5. Dobleng negasyon. Ang negasyon ng isang tiyak na pahayag ay dalawang beses na nagreresulta sa orihinal na pahayag, tatlong beses - ang negasyon nito.

6. Ang batas ng idempotency ay ganito ang hitsura para sa lohikal na karagdagan: x v x v x v x = x; para sa pagpaparami: x^x^x^=x.

7. Ang batas ng di-pagsalungat ay nagsasabi: dalawang pahayag, kung sila ay magkasalungat, ay hindi maaaring maging totoo sa parehong oras.

8. Ang batas ng pagbubukod ng ikatlo. Sa dalawang magkasalungat na pahayag, ang isa ay laging totoo, ang isa ay mali, ang pangatlo ay hindi ibinigay.

9. Ang batas ng pagsipsip ay maaaring isulat sa ganitong paraan para sa lohikal na karagdagan: x v (x ^ y) = x, para sa multiplikasyon: x ^ (x v y) = x.

10. Ang batas ng gluing. Ang dalawang magkatabing pang-ugnay ay maaaring magkadikit upang bumuo ng isang pangatnig ng mas mababang ranggo. Sa kasong ito, nawawala ang variable kung saan nakadikit ang orihinal na mga conjunction. Halimbawa para sa lohikal na karagdagan:

(x^y) v (-x^y)=y.

Isinaalang-alang lamang namin ang mga pinakaginagamit na batas ng algebra ng lohika, na sa katunayan ay maaaring marami pa, dahil madalas na ang mga lohikal na equation ay tumatagal sa isang mahaba at gayak na anyo, na maaaring mabawasan sa pamamagitan ng paglalapat ng ilang katulad na mga batas.

Bilang isang patakaran, ang mga espesyal na talahanayan ay ginagamit para sa kaginhawahan ng pagbibilang at pagtukoy ng mga resulta. Ang lahat ng umiiral na mga batas ng algebra ng lohika, ang talahanayan kung saan mayroong pangkalahatang istraktura ng isang parihaba ng parihaba, ay pininturahan, na namamahagi ng bawat variable sa isang hiwalay na cell. Kung mas malaki ang equation, mas madaling makitungo sa paggamit ng mga talahanayan.

Mga Batas ng Propositional Algebra

Mga batas ng propositional algebra (algebra of logic) ay tautologies.

Minsan ang mga batas na ito ay tinatawag na theorems.

Ang unang apat sa mga sumusunod na batas ay ang mga pangunahing batas ng propositional algebra.

Batas sa pagkakakilanlan:

A=A

Ang bawat konsepto at paghatol ay magkapareho sa sarili nito.

Halimbawa, ang pangangatwiran ng Tama ay nagsasabi na ang wika ay magdadala sa iyo sa Kyiv, ngunit bumili ako ng isang pinausukang wika kahapon, na nangangahulugan na ngayon ay ligtas akong makapunta sa Kyiv nang hindi tama, dahil ang una at pangalawang salitang "wika" ay tumutukoy sa iba't ibang mga konsepto.

Sa pangangatwiran: Ang paggalaw ay walang hanggan. Ang pagpasok sa paaralan ay paggalaw. Samakatuwid, ang pagpunta sa paaralan magpakailanman ang salitang "kilusan" ay ginagamit sa dalawang magkaibang mga kahulugan (ang una - sa pilosopikal na kahulugan - bilang isang katangian ng bagay, ang pangalawa - sa karaniwang kahulugan - bilang isang aksyon upang lumipat sa kalawakan), na humahantong sa isang maling konklusyon.

Batas ng hindi pagkakasalungatan :

Sa parehong sandali sa oras, ang pahayag ay maaaring tama o mali, walang pangatlo. Alinman sa A ay totoo o hindi A. Mga halimbawa ng pagpapatupad ng batas ng ibinukod na gitna:

1. Ang bilang na 12345 ay alinman sa pantay o kakaiba, ang pangatlo ay hindi ibinigay.

2. Ang kumpanya ay nagpapatakbo sa isang lugi o break even.

3. Ang likidong ito ay maaaring acid o hindi.

Ang batas ng ibinukod na gitna ay hindi isang batas na kinikilala ng lahat ng mga logician bilang isang unibersal na batas ng lohika. Nalalapat ang batas na ito kung saan ang cognition ay tumatalakay sa isang mahigpit na sitwasyon: "alinman-o", "true-false". Kung saan walang katiyakan (halimbawa, sa pangangatwiran tungkol sa hinaharap), ang batas ng ibinukod na gitna ay madalas na hindi mailalapat.

Isaalang-alang ang sumusunod na pahayag: Mali ang pangungusap na ito. Hindi ito maaaring totoo dahil sinasabing ito ay hindi totoo. Ngunit hindi rin ito maaaring mali, dahil ito ay magiging totoo. Ang pahayag na ito ay hindi totoo o mali, at samakatuwid ang batas ng ibinukod na gitna ay nilalabag.

Ang kabalintunaan (Greek paradoxos - hindi inaasahan, kakaiba) sa halimbawang ito ay nagmula sa katotohanan na ang pangungusap ay tumutukoy sa sarili nito. Ang isa pang kilalang kabalintunaan ay ang problema ng barbero: Sa isang lungsod, ginugupit ng barbero ang buhok ng lahat ng residente, maliban sa mga nagpapagupit ng sariling buhok. Sino ang nagpagupit ng buhok ng barbero? Sa lohika, dahil sa pormalidad nito, hindi posibleng makuha ang anyo ng naturang self-referential statement. Ito ay muling nagpapatunay sa ideya na sa tulong ng algebra ng lohika imposibleng ipahayag ang lahat ng posibleng mga kaisipan at argumento. Ipakita natin kung paano, batay sa kahulugan ng propositional equivalence, ang iba pang mga batas ng propositional algebra ay maaaring makuha.

Halimbawa, tukuyin natin kung ano ang katumbas (katumbas) A (double negation A, ibig sabihin, negation ng negation A). Upang gawin ito, bubuo tayo ng talahanayan ng katotohanan:

Sa pamamagitan ng kahulugan ng equivalence, dapat nating hanapin ang column na ang mga value ay tumutugma sa value ng column A. Ito ang magiging column A.

Kaya, maaari nating bumalangkas ng batas ng double negation:

Kung tinanggihan natin ang ilang pahayag nang dalawang beses, ang resulta ay ang orihinal na pahayag. Halimbawa, ang pahayag A = Matroskin - pusa ay katumbas ng A = Hindi totoo na hindi pusa si Matroskin.

Katulad nito, ang mga sumusunod na batas ay maaaring makuha at ma-verify:

Mga patuloy na katangian:

Mga Batas ng Idempotency:

Kahit ilang beses nating ulitin: nakabukas ang TV o nakabukas ang TV o nakabukas ang TV... hindi magbabago ang kahulugan ng pahayag. Katulad nito, mula sa pag-uulit ito ay mainit sa labas, ito ay mainit sa labas, ... hindi ito magiging isang antas na mas mainit.

Ang mga batas ng commutativity:

A v B = B v A

A & B = B & A

Ang mga Operand A at B sa mga operasyon ng disjunction at conjunction ay maaaring palitan.

Mga batas sa asosasyon:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) at C.

Kung ginagamit lang ng expression ang disjunction operation o ang conjunction operation lang, maaari mong pabayaan ang mga bracket o ayusin ang mga ito nang basta-basta.

Mga batas sa pamamahagi:

A v (B & C) = (A v B) at(A v C)

(distributive disjunction
tungkol sa conjunction)

A at (B v C) = (A & B) v (A at C)

(distributivity ng conjunction
tungkol sa disjunction)

Mga batas sa pagsipsip:

A v (A & B) = A

A at (A v B) = A

Isagawa ang patunay ng mga batas sa pagsipsip sa iyong sarili.

Mga batas ni De Morgan:

Mga pandiwang pormulasyon ng mga batas ni de Morgan:

Mnemonic rule: sa kaliwang bahagi ng identity, ang negation operation ay nasa itaas ng buong statement. Sa kanang bahagi, ito ay tila nasira at ang negation ay nakatayo sa itaas ng bawat isa sa mga simpleng pahayag, ngunit sa parehong oras ang operasyon ay nagbabago: disjunction sa conjunction at vice versa.

Mga halimbawa ng pagpapatupad ng batas ni de Morgan:

1) Ang pahayag Hindi totoo na alam ko ang Arabic o Chinese ay kapareho ng pahayag na hindi ako marunong ng Arabic at hindi ako marunong ng Chinese.

2) Ang pahayag Hindi totoo na natutunan ko ang aralin at nakakuha ng deuce dahil ito ay kapareho ng pahayag Alinman sa hindi ko natutunan ang aralin, o hindi ako nakakuha ng deuce para dito.

Pagpapalit ng implikasyon at pagpapatumbas ng mga operasyon

Kaya, maaari mong palitan ang pagpapatakbo ng implikasyon alinsunod sa sumusunod na panuntunan:

Mayroong dalawang panuntunan para sa pagpapalit ng equivalence operation:

Madaling i-verify ang bisa ng mga formula na ito sa pamamagitan ng pagbuo ng mga talahanayan ng katotohanan para sa kanan at kaliwang bahagi ng parehong pagkakakilanlan.

Ang kaalaman sa mga alituntunin para sa pagpapalit ng mga operasyon ng implikasyon at katumbas ay nakakatulong, halimbawa, upang wastong mabuo ang negasyon ng isang implikasyon.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Hayaang ibigay ang pahayag:

E = Hindi totoo na kapag nanalo ako sa kompetisyon, makakatanggap ako ng premyo.

Hayaan A = Ako ang mananalo sa patimpalak,

B = Makakatanggap ako ng premyo.

Pagkatapos

Mula rito, E = Mananalo ako sa kompetisyon, ngunit hindi ako makakatanggap ng premyo.