Ekvivalentne, TI in TL formule algebre logike. Osnovne enakovrednosti. (Zakoni logičnih operacij). Zakon dvojnosti. Zakon Boolove algebre posameznih elementov

Logike- veda, ki preučuje zakonitosti in oblike mišljenja; nauk o metodah sklepanja in dokazovanja.

Zakonitosti sveta, bistva predmetov, skupnega v njih spoznavamo z abstraktnim mišljenjem. Glavne oblike abstraktnega mišljenja so pojmi, sodbe in sklepanje.

koncept- oblika mišljenja, ki odraža bistvene lastnosti posameznega predmeta ali razreda homogenih predmetov. Pojmi v jeziku so izraženi z besedami.

Obseg koncepta- niz predmetov, od katerih ima vsak atribute, ki sestavljajo vsebino koncepta. Ločimo pojma splošno in posamično.

Po obsegu se razlikujejo naslednja razmerja pojmov:

• identiteta ali sovpadanje obsegov, kar pomeni, da je obseg enega pojma enak obsegu drugega pojma;
• podrejenost ali vključitev obsegov: obseg enega od pojmov je v celoti vključen v obseg drugega;
• izjema zvezki - primer, v katerem ni niti enega elementa, ki bi bil v dveh zvezkih;
• križišče ali delno sovpadanje volumnov;
• podrejenost obsegi - primer, ko sta obsega dveh konceptov, ki se izključujeta, vključena v obseg tretjega.

Obsodba- to je oblika mišljenja, v kateri se nekaj potrjuje ali zanika o predmetih, znakih ali njihovih odnosih.

sklepanje- oblika mišljenja, s katero iz ene ali več sodb, imenovanih premise, po določenih pravilih sklepanja dobimo sodbo-sklep.

Algebra v širšem pomenu besede znanost o splošnih operacijah, podobnih seštevanju in množenju, ki jih je mogoče izvajati ne samo na številih, temveč tudi na drugih matematičnih objektih.

Primeri algeber: algebra naravnih števil, algebra racionalnih števil, algebra polinomov, algebra vektorjev, algebra matrik, algebra množic itd. Objekti algebre logike ali Boolove algebre so propozicije.

izjava- to je kateri koli stavek katerega koli jezika (izjava), katerega vsebino je mogoče določiti kot resnično ali napačno.

Vsaka propozicija je resnična ali napačna; ne more biti oboje hkrati.

V naravnem jeziku so izjave izražene v izjavnih stavkih. Vzklični in vprašalni stavki niso izjave.

Trditve lahko izrazimo z matematičnimi, fizikalnimi, kemičnimi in drugimi znaki. Iz dveh številskih izrazov lahko sestavimo trditve tako, da ju povežemo z znaki enačbe ali neenakosti.

Izjava se imenuje preprosto(elementarno), če noben del tega sam ni izjava.

Izjava, sestavljena iz preprostih izjav, se imenuje sestavljeno(težko).

Enostavne izjave v algebri logike označujemo z velikimi latiničnimi črkami:
AMPAK= (Aristotel je utemeljitelj logike),
AT= (Banane rastejo na jablanah).

O utemeljitvi resničnosti ali lažnosti preprostih izjav se odloča zunaj algebre logike. Na primer, resničnost ali napačnost izjave: "Vsota kotov trikotnika je 180 stopinj" ugotavlja geometrija in - v Evklidovi geometriji je ta izjava resnična, v geometriji Lobačevskega pa napačna.

Pravilni izjavi je dodeljena 1, napačni - 0. Tako AMPAK = 1, AT = 0.

Algebra logike je abstrahirana iz semantične vsebine izjav. Zanima jo le eno dejstvo - ali je podana trditev resnična ali napačna, kar omogoča ugotavljanje resničnosti ali napačnosti sestavljenih trditev z algebraičnimi metodami.

Osnovne operacije propozicionalne algebre.

Logična operacija KONJUNKCIJA(lat. conjunctio - vežem):

• v naravnem jeziku ustreza vezniku in;
• oznaka: & ;
• v programskih jezikih je zapis: in;
• drugo ime: logično množenje.

Konjunkcija je logična operacija, ki povezuje vsaka dva preprosta stavka s sestavljeno izjavo, ki je resnična, če in samo če sta resnični obe izvirni izjavi.

Tabela resnic konjunkcije:

AMPAK	AT	AMPAK&AT
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Logična operacija DISJUNKCIJA(lat. disjunctio - ločim):

Disjunkcija je logična operacija, ki povezuje vsaka dva preprosta stavka s sestavljeno izjavo, ki je napačna, če in samo če sta oba izvirna stavka napačna in resnična, kadar je vsaj ena od dveh izjav, ki jo tvorita, resnična.

Resnična tabela disjunkcije:

AMPAK	AT	AMPAKAT
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Logična operacija INVERZIJA(lat. inversio - obrniti):

Negacija je logična operacija, ki povezuje vsako preprosto izjavo s sestavljeno izjavo, ki je sestavljena iz dejstva, da je prvotna izjava zanikana.

Negativna tabela resnic:

AMPAK	ne A
0	1
1	0

Funkcija logičnega seštevanja ALI (LogValue1;LogValue2;…) ovrednoti vrednost TRUE (True) le, če je vsaj en logični argument TRUE (1).

Funkcija logičnega zanikanja NOT(LogValue) ovrednoti vrednost TRUE (True), ko je logični argument FALSE (0), in obratno, vrednost FALSE (False), ko je logični argument TRUE (1).

Logična operacija IMPLIKACIJA(lat. implicatio - tesno povezujem):

Implikacija je logična operacija, ki vsaki dve preprosti izjavi poveže s sestavljeno izjavo, ki je napačna, če in samo če je pogoj (prva izjava) resnična in posledica (druga izjava) je napačna.

Resnična tabela implikacij:

AMPAK	AT	AMPAKAT
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Logična operacija EKVIVALENCA(lat. aequivalens - enakovreden):

• v naravnem jeziku ustreza obratim govora takrat in samo takrat in če in samo če;
• oznaka: ~ ;
• drugo ime: enakovrednost.

Enakovrednost je logična operacija, ki vsakima dvema enostavnima stavkoma dodeli sestavljeno izjavo, ki je resnična, če in samo če sta oba izvirna stavka resnična ali oba napačna.

Resnična tabela enakovrednosti:

AMPAK	AT	AMPAK~AT
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Logične operacije imajo naslednjo prednost: dejanja v oklepajih, inverzija, &, , ~.

Tabela, ki prikazuje, katere vrednosti ima sestavljeni stavek za vse kombinacije (nize) vrednosti njegovih preprostih stavkov, se imenuje tabela resnice sestavljeni izrek.

Sestavljeni stavki v algebri logike so zapisani z uporabo logičnih izrazov. Za vsak logični izraz je dovolj, da preprosto sestavite tabelo resnic.

Algoritem za izdelavo tabele resnic:

1. preštejte število spremenljivk n v logičnem izrazu;
2. določite število vrstic v tabeli m = 2 n ;
3. preštejte število logičnih operacij v formuli;
4. vzpostaviti zaporedje izvajanja logičnih operacij ob upoštevanju oklepajev in prioritet;
5. določite število stolpcev v tabeli: število spremenljivk plus število operacij;
6. izpišite nize vhodnih spremenljivk, pri čemer upoštevajte dejstvo, da so naravni nizi n-bitnih binarnih števil od 0 do 2 n -1;
7. izpolnite tabelo resnic po stolpcih z izvajanjem logičnih operacij v skladu z zaporedjem, določenim v klavzuli 4.

Da bi se izognili napakam, je priporočljivo, da so nizi vhodnih spremenljivk navedeni na naslednji način:
a) določite število nizov vhodnih spremenljivk;
b) razdelite stolpec vrednosti prve spremenljivke na polovico in zapolnite zgornji del stolpca z 0, spodnji del pa -1;
c) razdelite stolpec vrednosti druge spremenljivke na štiri dele in vsako četrtino napolnite z izmeničnimi skupinami 0 ali 1, začenši s skupino 0;
d) nadaljujte z deljenjem stolpcev vrednosti naslednjih spremenljivk z 8, 16 itd. dele in jih zapolnite s skupinama 0 ali 1, dokler skupini 0 in 1 ne bosta sestavljeni iz enega znaka.

Primer. Za formulo A&(B C) sestavite tabelo resnic algebraično in z uporabo preglednic.

Število logičnih spremenljivk je 3, zato mora biti število vrstic v tabeli resnic 2 3 = 8.

Število logičnih operacij v formuli je 5, zato mora biti število stolpcev v tabeli resnic 3 + 5 = 8.

AMPAK	AT	C	ATC	AMPAK & (ATC)
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Logična funkcija pokličite funkcijo F(X 1, X 2, ..., X n), katerih argumenti X 1, X 2, ..., X n(neodvisne spremenljivke) in sama funkcija (odvisna spremenljivka) imata vrednosti 0 ali 1.

Tabela, ki prikazuje, katere vrednosti prevzame logična funkcija za vse kombinacije vrednosti njenih argumentov, se imenuje tabela resnic logične funkcije. Tabela resnic logične funkcije n argumenti vsebujejo 2 nčrte, n stolpci vrednosti argumenta in 1 stolpec vrednosti funkcije.

Logične funkcije lahko podajamo tabelarično ali analitično – v obliki ustreznih formul.

Če je logična funkcija predstavljena z uporabo disjunkcij, konjunkcij in inverzij, se ta oblika predstavitve imenuje normalno.

Obstaja 16 različnih logičnih funkcij iz dveh spremenljivk.

Logični izrazi klical enakovreden, če njihove resničnostne vrednosti sovpadajo za katero koli vrednost logičnih spremenljivk, ki so vanje vključene.

V algebri logike obstaja vrsta zakonov, ki omogočajo enakovredne transformacije logičnih izrazov. Predstavimo razmerja, ki odražajo te zakonitosti.

1. Zakon dvojne negacije:
   ne (ne A) = A.
   Dvojna negacija izključuje negacijo.
2. Komutativno (komutativno) pravo:
   - za logično seštevanje:
   A B = B A;

   
   A&B=B&A.

   Rezultat operacije na stavkih ni odvisen od vrstnega reda, v katerem so ti stavki vzeti.

3. Asociativni (asociativni) zakon:
   - za logično seštevanje:
   (A B) C = A (B C);

   Za logično množenje:
   (A & B) & C = A & (B & C).

   Pri enakih znakih lahko oklepaje postavimo poljubno ali celo izpustimo.

4. Distributivni (distributivni) zakon:
   - za logično seštevanje:
   (A B) & C = (A & C) (B & C);

   Za logično množenje:
   (A & B) C = (A C) & (B C).

   Določa pravilo za oklepaje splošne izjave.

5. Zakon splošne inverzije (de Morganovi zakoni):
   - za logično seštevanje:
   ;

   Za logično množenje:
   .

6. Zakon idempotence (iz latinskih besed idem - enak in potens - močan; dobesedno - enakovreden):
   - za logično seštevanje:
   A A = A;

   Za logično množenje:
   A&A=A.

   Zakon pomeni brez eksponentov.

7. Zakoni o stalni izključitvi:
   - za logično seštevanje:
   A 1 = 1, A 0 = A;

   Za logično množenje:
   A&1 = A, A&0 = 0.

8. Zakon protislovja:
   A & (ne A) = 0.

   Nemogoče je, da bi bile protislovne trditve hkrati resnične.

9. Zakon izključitve tretjega:
   A (ne A) = 1.

   Od dveh protislovnih trditev o isti temi je ena vedno resnična, druga pa napačna, tretja ni podana.

10. Absorpcijski zakon:
    - za logično seštevanje:
    A(A&B)=A;

    Za logično množenje:
    A & (A B) = A.

11. Zakon izključitve (lepljenje):
    - za logično seštevanje:
    (A & B) (& B) = B;

    Za logično množenje:
    (A B) & (B) = B.

12. Zakon kontrapozicije (pravilo obrata):
    (AB) = (BA).

    Veljavnost zgornjih zakonov je mogoče dokazati tabelarično: izpišite vse množice vrednosti A in B, izračunajte vrednosti levega in desnega dela izraza, ki se na njih dokazuje, in se prepričajte, da nastali stolpci se ujemajo.

Primer. Poenostavite logični izraz:

1. Efimova O., Morozov V., Ugrinovich N. Tečaj računalniške tehnologije z osnovami informatike. Učbenik za višje razrede. - M .: LLC "Založba AST"; ABF, 2000
2. Učbenik-delavnica iz informatike. V 2 zvezkih / Ed. I.Semakina, E.Khenner. - M .: Laboratorij za osnovno znanje, 2001
3. Ugrinovich N. Informatika in informacijske tehnologije. Razred 10-11 - M .: Laboratorij za osnovno znanje, JSC "Moskovski učbeniki", 2001

Naloge in testi na temo "Osnove formalne logike"

• Access DBMS Logic - Logični in matematični modeli 10. razred

  Lekcije: 5 nalog: 9 kvizov: 1

• Reševanje logičnih problemov s pomočjo matematične logike

  Lekcije: 4 Naloge: 6 Testi: 1

Dragi študent!

Delo 1 predstavlja tri teme, ki tvorijo osnovo predmeta "Informacijska tehnologija". Upamo, da imate že minimalne izkušnje z računalnikom in ste se z njegovo napravo seznanili v srednji šoli.

Tema "Računalniške komunikacije. Internet" je v zadnjem času zelo zanimiva, veliko mladih preživi skoraj ves svoj prosti čas v svetovnem omrežju. Rad bi vas spomnil, da obvladovanje interneta ne pomeni le zmožnosti "brskanja" po omrežju in občasnega obiska zanimivih "klepetov", temveč tudi razumevanje načel organiziranja informacij v globalnem omrežju, razumevanje njegove strukture, protokole, znati konfigurirati brskalnik in e-poštne programe, poznati in upoštevati etiko dela na internetu ter seveda uporabljati omrežje za njegov najpomembnejši namen – za širjenje obzorja.

Tehnologije izdelave spletnih strani v tem predmetu nismo obravnavali, saj menimo, da je minimalno znanje za izdelavo spletne domače strani možno pridobiti iz dodatne literature. Ustvarjanje spletnih mest na profesionalni ravni zahteva nekaj usposabljanja, ki temelji na veščinah dela z besedilom in grafiko ter sposobnosti programiranja.

Tema "Logika" običajno povzroča nekaj zmede med študenti, vsi ne razumejo pomena študija te teme. Rad bi opozoril, da je znanje logike pomembno ne le kot osnova za nadaljnji študij programskih jezikov in principov dela z bazami podatkov, temveč tudi kot "simulator" za razvoj posebne vrste razmišljanja. Oseba, ki je odlična pri študiju logike, ima ogromne prednosti v komunikaciji. Zelo laskavo je slišati v vašem naslovu: "To je logično", "v vašem razmišljanju je logika."

Lekcija o informatiki je namenjena učencem 10. razreda splošne šole, katere učni načrt vključuje razdelek "Algebra logike". Ta tema je za učence zelo težka, zato sem jih kot učiteljica želela navdušiti za preučevanje zakonitosti logike, poenostavljanje logičnih izrazov in z zanimanjem pristopiti k reševanju logičnih problemov. V običajni obliki je poučevanje te teme dolgočasno in težavno, nekatere definicije pa otrokom niso vedno jasne. V zvezi z zagotavljanjem informacijskega prostora sem imel priložnost objaviti svoje lekcije v "učni" lupini. Študenti, ki so se prijavili vanj, se lahko udeležijo tega tečaja v prostem času in ponovno preberejo, kar v lekciji ni bilo jasno. Nekateri učenci, ki zaradi bolezni izostanejo pri pouku, doma ali v šoli nadoknadijo zamujeno temo in so vedno pripravljeni na naslednjo uro. Mnogim otrokom je takšna oblika poučevanja zelo ustrezala in tiste zakonitosti, ki so jim bile nerazumljive, se zdaj veliko lažje in hitreje naučijo v računalniški obliki. Ponujam eno od teh učnih ur informatike, ki poteka integrativno z IKT.

Učni načrt

1. Razlaga nove snovi z uporabo računalnika - 25 minut.
2. Osnovni pojmi in definicije, podani v "učenje" - 10 minut.
3. Gradivo za radovedne - 5 minut.
4. Domača naloga - 5 minut.

1. Razlaga nove snovi

Zakoni formalne logike

Najenostavnejše in najbolj potrebne prave povezave med mislimi so izražene v osnovnih zakonih formalne logike. To so zakoni identitete, neprotislovnosti, izključene sredine, zadostnega razuma.

Ti zakoni so temeljni, ker imajo v logiki posebno pomembno vlogo, so najbolj splošni. Omogočajo vam poenostavitev logičnih izrazov ter ustvarjanje sklepov in dokazov. Prve tri od zgornjih zakonov je identificiral in oblikoval Aristotel, zakon zadostnega razloga pa G. Leibniz.

Zakon identitete: v procesu določenega razmišljanja mora biti vsak pojem in sodba enaka sama sebi.

Zakon neprotislovja: nemogoče je, da bi bilo eno in isto oko hkrati in neločljivo povezano z isto stvarjo v istem pogledu. Se pravi, nemogoče je nekaj hkrati pritrditi in zanikati.

Zakon izključene sredine: od dveh protislovnih trditev je ena resnična, druga napačna, tretja pa ni dana.

Zakon zadostnega razloga: Vsaka prava misel mora biti dovolj utemeljena.

Zadnji zakon pravi, da dokaz nečesa predpostavlja utemeljitev natanko in samo resničnih misli. Lažnih misli ni mogoče dokazati. Obstaja dober latinski pregovor: "Motiti se je značilno za vsakega človeka, toda samo neumen vztraja pri napaki." Za ta zakon ni formule, saj ima le vsebinski značaj. Resnične sodbe, stvarno gradivo, statistični podatki, znanstveni zakoni, aksiomi, dokazani izreki se lahko uporabljajo kot argumenti za potrditev prave misli.

Zakoni propozicionalne algebre

Algebra propozicij (algebra logike) je del matematične logike, ki preučuje logične operacije na propozicijah in pravila za pretvorbo kompleksnih propozicij.

Pri reševanju številnih logičnih problemov je pogosto treba poenostaviti formule, dobljene s formalizacijo njihovih pogojev. Poenostavitev formul v algebri predlogov se izvaja na podlagi ekvivalentnih transformacij, ki temeljijo na osnovnih logičnih zakonih.

Zakoni algebre trditev (algebre logike) so tavtologije.

Včasih se ti zakoni imenujejo izreki.

V propozicionalni algebri so logični zakoni izraženi kot enakost enakovrednih formul. Med zakoni se posebej razlikujejo tisti, ki vsebujejo eno spremenljivko.

Prvi štirje od naslednjih zakonov so osnovni zakoni propozicionalne algebre.

Zakon o identiteti:

Vsak koncept in sodba sta enaka samemu sebi.

Zakon identitete pomeni, da v procesu razmišljanja ni mogoče zamenjati ene misli z drugo, enega koncepta z drugim. Če je ta zakon kršen, so možne logične napake.

Na primer razprava Pravilno pravijo, da te bo jezik pripeljal v Kijev, vendar sem včeraj kupil dimljen jezik, kar pomeni, da zdaj lahko varno odidem v Kijev napačno, saj prva in druga beseda "jezik" označujeta različna pojma.

V razpravi: Gibanje je večno. Hoditi v šolo je gibanje. Zato je šolanje za vedno beseda "gibanje" se uporablja v dveh različnih pomenih (prvi - v filozofskem smislu - kot atribut materije, drugi - v običajnem pomenu - kot dejanje za premikanje v prostoru), kar vodi do napačnega sklepa.

Zakon neprotislovnosti:

Trditev in njena negacija ne moreta biti resnična hkrati. Se pravi, če izjava AMPAK je res, potem njegova negacija ne A mora biti napačen (in obratno). Potem bo njihov izdelek vedno napačen.

Prav ta enakost se pogosto uporablja pri poenostavljanju kompleksnih logičnih izrazov.

Včasih je ta zakon formuliran na naslednji način: dve izjavi, ki si nasprotujeta, ne moreta biti resnični hkrati. Primeri neupoštevanja zakona o neprotislovnosti:

1. Na Marsu je življenje in na Marsu ga ni.

2. Olya je končala srednjo šolo in je v 10. razredu.

Zakon izključene sredine:

V istem trenutku je izjava lahko resnična ali napačna, tretjega ni. Tudi res AMPAK, oz ne A. Primeri izvajanja zakona izključene sredine:

1. Število 12345 je sodo ali liho, tretjega ni.

2. Podjetje posluje z izgubo ali brez dobička.

3. Ta tekočina je lahko kislina ali pa tudi ne.

Zakon izključene sredine ni zakon, ki ga vsi logiki priznavajo kot univerzalni zakon logike. Ta zakon se uporablja tam, kjer se znanje ukvarja s togo situacijo: "ali - ali", "true-false". Kjer obstaja negotovost (na primer pri razmišljanju o prihodnosti), zakona izključene sredine pogosto ni mogoče uporabiti.

Razmislite o naslednji izjavi: Ta predlog je napačen. Ne more biti res, ker trdi, da je laž. Vendar tudi ne more biti lažna, ker bi bila resnična. Ta trditev ni niti resnična niti napačna, zato je kršen zakon izključene sredine.

Paradoks(grško paradoxos - nepričakovano, čudno) v tem primeru izhaja iz dejstva, da se stavek nanaša sam nase. Drug znan paradoks je problem frizerja: V enem mestu frizer striže vse prebivalce, razen tistih, ki se strižejo sami. Kdo striže brivca? V logiki zaradi njene formalnosti ni mogoče dobiti oblike takšne samoreferenčne izjave. To še enkrat potrjuje idejo, da je s pomočjo algebre logike nemogoče izraziti vse možne misli in argumente. Pokažimo, kako je mogoče na podlagi definicije propozicijske ekvivalence pridobiti ostale zakone propozicijske algebre.

Na primer, definirajmo, kaj je enakovredno (enakovredno) AMPAK(dvakrat ne AMPAK, tj. negacija negacije AMPAK). Da bi to naredili, bomo zgradili tabelo resnic:

Po definiciji enakovrednosti moramo najti stolpec, katerega vrednosti se ujemajo z vrednostmi stolpca AMPAK. To bo stolpec AMPAK.

Tako lahko oblikujemo dvojno pravonegacije:

Če neko izjavo dvakrat zanikamo, potem je rezultat prvotna izjava. Na primer izjava AMPAK= Matroskin- mačka je enakovredno reči A = Ni res, da Matroskin ni mačka.

Podobno je mogoče izpeljati in preveriti naslednje zakone:

Lastnosti konstante:

Zakoni idempotence:

Ne glede na to, kolikokrat ponavljamo: TV vklopljen ali TV vklopljen ali TV vklopljen ... pomen stavka se ne bo spremenil. Prav tako od ponavljanja Zunaj je toplo, zunaj je toplo ... niti za stopinjo topleje.

Zakoni komutativnosti:

A v B = B v A

A & B = B & A

operandov AMPAK in AT v operacijah disjunkcije in konjunkcije se lahko zamenjata.

Zakoni asociativnosti:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Če izraz uporablja samo operacijo disjunkcije ali samo operacijo konjunkcije, lahko oklepaje zanemarite ali jih razporedite poljubno.

Distributivni zakoni:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributivna disjunkcija
glede konjunkcije)

A & (B proti C) = (A & B) proti (A & C)

(distributivnost veznika
glede disjunkcije)

Distributivni zakon konjunkcije glede na disjunkcijo je podoben zakonu distribucije v algebri, vendar zakon distribucijske disjunkcije glede na konjunkcijo nima analogije, velja le v logiki. Zato ga je treba dokazati. Dokaz je najbolje narediti s tabelo resnic:

Zakoni absorpcije:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Dokaz absorpcijskih zakonov izvedite sami.

De Morganovi zakoni:

Verbalne formulacije de Morganovih zakonov:

Mnemotehnično pravilo: na levi strani identitete stoji operacija negacije nad celotno izjavo. Na desni strani se zdi, da je prekinjena in negacija stoji nad vsako od enostavnih izjav, hkrati pa se spreminja operacija: disjunkcija v konjunkcijo in obratno.

Primeri izvajanja de Morganovega zakona:

1) Izjava Ni res, da znam arabsko ali kitajsko je identična izjavi Ne znam arabsko in ne znam kitajsko.

2) Izjava Ni res, da sem se naučil lekcije in dobil D je identična izjavi Ali se nisem naučil lekcije ali pa nisem dobil petice.

Zamenjava implikacijskih in ekvivalenčnih operacij

Operacije implikacije in enakovrednosti včasih niso med logičnimi operacijami določenega računalnika ali prevajalnika iz programskega jezika. Vendar so te operacije potrebne za reševanje številnih težav. Obstajajo pravila za zamenjavo teh operacij z zaporedji operacij negacije, disjunkcije in konjunkcije.

Torej zamenjajte operacijo posledice mogoče po naslednjem pravilu:

Za zamenjavo operacije enakovrednost obstajata dve pravili:

Veljavnost teh formul je enostavno preveriti z izdelavo tabel resnic za desno in levo stran obeh identitet.

Poznavanje pravil za zamenjavo operacij implikacije in ekvivalence pomaga na primer pri pravilni konstrukciji negacije implikacije.

Razmislite o naslednjem primeru.

Naj bo podana izjava:

E = Ni res, da bom dobil nagrado, če bom zmagal na tekmovanju.

Pustiti AMPAK= Zmagal bom na tekmovanju

B = Prejel bom nagrado.

Zato E = zmagal bom na tekmovanju, vendar ne bom prejel nagrade.

Zanimiva so tudi naslednja pravila:

Njihovo veljavnost lahko dokažete tudi z uporabo tabel resnic.

Zanimivo je njihovo izražanje v naravnem jeziku.

Na primer besedna zveza

Če je Winnie the Pooh jedel med, potem je sit

je enak frazi

Če Winnie the Pooh ni sit, potem ni jedel medu.

Vaja: pomislite na fraze-zglede teh pravil.

2. Osnovni pojmi in definicije v prilogi 1

3. Gradivo za radovedneže v prilogi 2

4. Domača naloga

1) Naučite se zakonov logike s tečajem Algebra of Logic, ki se nahaja v informacijskem prostoru (www.learning.9151394.ru).

2) Preverite dokaz De Morganovih zakonov na osebnem računalniku tako, da sestavite tabelo resnic.

Aplikacije

1. Osnovni pojmi in definicije (

§ štiri. Ekvivalentne, TI in TL formule algebre logike. Osnovne enakovrednosti. (Zakoni logičnih operacij). Zakon dvojnosti.

Opredelitev.

Dve formuli algebre logike A in B se imenujeta EKVIVALENTNI, če imata enake logične vrednosti na kateri koli množici elementarnih predlogov, vključenih v formule. Enakovrednost formul bomo označili z znakom º, zapis A ºB pa pomeni, da sta formuli A in B enakovredni.

Formula A se imenuje IDENTIČNO RESNIČNA (ali TAVTOLOGIJA), če ima vrednost 1 za vse vrednosti spremenljivk, ki so v njej vključene.

Formula se imenuje IDENTIČNO NAPAČNA (ali KONTRADIKCIJA), če ima vrednost 0 za vse vrednosti spremenljivk, ki so v njej vključene.

Med pojmoma enakovrednosti in ekvivalence obstaja naslednja povezava: če sta formuli A in B enakovredni, potem je formula A"B tavtologija, in obratno, če je formula A"B tavtologija, potem formule A in B sta enakovredna.

Najpomembnejše ekvivalente algebre logike lahko razdelimo v tri skupine.

1. Osnovne enakovrednosti.

Zakoni idempotence.

Zakon protislovja

Zakon izključene sredine

dvojni negativni zakon

absorpcijski zakoni

2. Ekvivalence, ki izražajo nekatere logične operacije v smislu drugih.

Tu so 3, 4, 5, 6 Morganovi zakoni.

Jasno je, da ekvivalentnosti 5 in 6 dobimo iz ekvivalentnosti 3 oziroma 4, če vzamemo negacije iz obeh delov slednje in uporabimo zakon o odstranitvi dvojnih negacij.

Zato je treba prve štiri enakovrednosti dokazati. Dokažimo eno izmed njih: prvo.

Ker sta za enaki logični vrednosti x in y formuli resnični https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Zato v v tem primeru imata oba enakovredna dela enako pravo vrednost.

Naj imata zdaj x in y različni logični vrednosti. Potem bo enakovrednost in ena od obeh implikacij ali napačna. A hkrati bo tudi konjunkcija lažna. .

Tako imata v tem primeru oba dela enakovrednosti enak logični pomen.

Ekvivalence 2 in 4 dokažemo podobno.

Iz ekvivalentov te skupine sledi, da je katero koli formulo algebre logike mogoče nadomestiti z njej enakovredno formulo, ki vsebuje samo dve logični operaciji: konjunkcijo in negacijo ali disjunkcijo in negacijo.

Nadaljnja izključitev logičnih operacij ni mogoča. Torej, če uporabljamo samo konjunkcijo, potem takšne formule, kot je zanikanje, ni mogoče izraziti z operacijo konjunkcije.

Vendar pa obstajajo operacije, s katerimi je mogoče izraziti katero koli od petih logičnih operacij, ki jih uporabljamo. Takšna operacija je na primer operacija "Schaefferjeva kap". Ta operacija je označena s simbolom ½ levo " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Sodobni računalniki, ki temeljijo na "starih" elektronskih računalnikih, temeljijo na določenih postulatih kot osnovnih principih delovanja. Imenujejo se zakoni algebre logike. Prvič je tako disciplino opisal (seveda ne tako podrobno kot v sodobni obliki) starogrški znanstvenik Aristotel.

Predstavlja ločeno vejo matematike, v okviru katere se proučuje propozicijski račun, ima algebra logike številne dobro opredeljene zaključke in zaključke.

Da bi bolje razumeli temo, bomo analizirali koncepte, ki bodo v prihodnosti pomagali pri učenju zakonov algebre logike.

Morda je glavni izraz v disciplini, ki jo proučujemo, izjava. To je izjava, ki ne more biti istočasno napačna in resnična. Vedno ima le eno od teh lastnosti. Hkrati je običajno sprejeto, da se vrednost 1 dodeli resnici, 0 napačnosti, sama izjava pa se imenuje neke vrste A, B, C. Z drugimi besedami, formula A=1 pomeni, da je izjava A prav. Z izrazi je mogoče ravnati na različne načine. Na kratko razmislimo o dejanjih, ki jih je mogoče izvesti z njimi. Upoštevajte tudi, da zakonov algebre logike ni mogoče obvladati brez poznavanja teh pravil.

1. Disjunkcija dva stavka - rezultat operacije "ali". Lahko je napačna ali resnična. Uporabljen je znak "v".

2. Veznik. Rezultat takega dejanja, izvedenega z dvema predlogoma, bo nov le, če sta obe izvirni propoziciji resnični. Uporablja se operacija "in", simbol "^".

3. Posledica. Operacija "Če A, potem B". Rezultat je izjava, ki je napačna samo, če je A resnična in B napačna. Uporabljen je simbol "->".

4. Enakovrednost. Operacija "A če in samo če B ko". Ta trditev velja, če imata obe spremenljivki enako vrednost. Simbol "<->».

Obstajajo tudi številne operacije, ki so blizu implikaciji, vendar jih v tem članku ne bomo obravnavali.

Zdaj pa si podrobneje oglejmo osnovne zakone algebre logike:

1. Komutativno ali komutativno navaja, da spreminjanje mest logičnih izrazov v operacijah konjunkcije ali disjunkcije ne vpliva na rezultat.

2. Asociativno ali asociativno. V skladu s tem zakonom lahko spremenljivke v operacijah konjunkcije ali disjunkcije združimo v skupine.

3. Distribucija ali distribucija. Bistvo zakona je, da lahko iste spremenljivke v enačbah vzamemo iz oklepajev, ne da bi spremenili logiko.

4. De Morganov zakon (inverzija ali negacija). Negacija operacije konjunkcije je enakovredna disjunkciji negacije prvotnih spremenljivk. Negacija disjunkcije pa je enaka konjunkciji negacije istih spremenljivk.

5. Dvojna negacija. Dvakratno zanikanje določene izjave povzroči izvirno izjavo, trikrat - njeno zanikanje.

6. Zakon idempotence izgleda takole za logično seštevanje: x v x v x v x = x; za množenje: x^x^x^=x.

7. Zakon neprotislovnosti pravi: dve trditvi, če sta protislovni, ne moreta biti resnični hkrati.

8. Zakon izključitve tretjega. Med dvema protislovnima trditvama je ena vedno resnična, druga napačna, tretja ni dana.

9. Zakon absorpcije lahko zapišemo takole za logično seštevanje: x v (x ^ y) = x, za množenje: x ^ (x v y) = x.

10. Zakon lepljenja. Dva sosednja veznika se lahko zlepita in tvorita veznik nižjega ranga. V tem primeru spremenljivka, s katero so bile zlepljene prvotne veznike, izgine. Primer za logično seštevanje:

(x^y) v (-x^y)=y.

Upoštevali smo le najpogosteje uporabljene zakone logične algebre, ki jih je lahko v resnici še veliko več, saj logične enačbe pogosto dobijo dolgo in okrašeno obliko, ki jo je mogoče zmanjšati z uporabo številnih podobnih zakonov.

Za lažje štetje in identifikacijo rezultatov se praviloma uporabljajo posebne tabele. Vsi obstoječi zakoni algebre logike, katerih tabela ima splošno strukturo mrežnega pravokotnika, so naslikani, pri čemer je vsaka spremenljivka razdeljena v ločeno celico. Večja kot je enačba, lažje je obravnavati uporabo tabel.

Zakoni propozicionalne algebre

Algebra propozicij (algebra logike) je del matematične logike, ki preučuje logične operacije na propozicijah in pravila za pretvorbo kompleksnih propozicij.

Pri reševanju številnih logičnih problemov je pogosto treba poenostaviti formule, dobljene s formalizacijo njihovih pogojev. Poenostavitev formul v algebri predlogov se izvaja na podlagi ekvivalentnih transformacij, ki temeljijo na osnovnih logičnih zakonih.

Zakoni propozicionalne algebre (algebra logike) so tavtologije.

Včasih se ti zakoni imenujejo izreki.

V propozicionalni algebri so logični zakoni izraženi kot enakost enakovrednih formul. Med zakoni se posebej razlikujejo tisti, ki vsebujejo eno spremenljivko.

Prvi štirje od naslednjih zakonov so osnovni zakoni propozicionalne algebre.

Zakon o identiteti:

A=A

Vsak koncept in sodba sta enaka samemu sebi.

Zakon identitete pomeni, da v procesu razmišljanja ni mogoče zamenjati ene misli z drugo, enega koncepta z drugim. Če je ta zakon kršen, so možne logične napake.

Na primer, obrazložitev Pravilno pravi, da vas bo jezik pripeljal v Kijev, vendar sem včeraj kupil dimljeni jezik, kar pomeni, da zdaj lahko varno grem v Kijev nepravilno, saj prva in druga beseda "jezik" označujeta različna pojma.

V sklepanju: Gibanje je večno. Hoditi v šolo je gibanje. Zato se z odhodom v šolo za vedno beseda "gibanje" uporablja v dveh različnih pomenih (prvi - v filozofskem pomenu - kot atribut materije, drugi - v običajnem pomenu - kot dejanje gibanja v prostoru), kar vodi do napačnega zaključka.

Zakon neprotislovnosti :

V istem trenutku je izjava lahko resnična ali napačna, tretjega ni. Ali A velja ali ne A. Primeri izvajanja zakona izključene sredine:

1. Število 12345 je sodo ali liho, tretje ni podano.

2. Podjetje posluje z izgubo ali brez dobička.

3. Ta tekočina je lahko kislina ali pa tudi ne.

Zakon izključene sredine ni zakon, ki ga vsi logiki priznavajo kot univerzalni zakon logike. Ta zakon velja, kjer se kognicija ukvarja s togo situacijo: "ali-ali", "true-false". Kjer obstaja negotovost (na primer pri razmišljanju o prihodnosti), zakona izključene sredine pogosto ni mogoče uporabiti.

Razmislite o naslednji izjavi: Ta stavek je napačen. Ne more biti res, ker trdi, da je laž. Vendar tudi ne more biti lažna, ker bi bila resnična. Ta trditev ni niti resnična niti napačna, zato je kršen zakon izključene sredine.

Paradoks (grško paradoxos - nepričakovano, čudno) v tem primeru izhaja iz dejstva, da se stavek nanaša sam nase. Drug dobro znan paradoks je problem brivca: v enem mestu brivec postriže vse prebivalce, razen tistih, ki se postrižejo sami. Kdo striže brivca? V logiki zaradi njene formalnosti ni mogoče dobiti oblike takšne samoreferenčne izjave. To še enkrat potrjuje idejo, da je s pomočjo algebre logike nemogoče izraziti vse možne misli in argumente. Pokažimo, kako je mogoče na podlagi definicije propozicijske ekvivalence pridobiti ostale zakone propozicijske algebre.

Na primer, ugotovimo, kaj je enakovredno (ekvivalentno) A (dvojna negacija A, tj. negacija negacije A). Da bi to naredili, bomo zgradili tabelo resnic:

Po definiciji enakovrednosti moramo najti stolpec, katerega vrednosti se ujemajo z vrednostmi stolpca A. To bo stolpec A.

Tako lahko oblikujemo zakon dvojne negacije:

Če neko izjavo dvakrat zanikamo, potem je rezultat prvotna izjava. Na primer izjava A = Matroskin - kat je enakovreden A = Ni res, da Matroskin ni mačka.

Podobno je mogoče izpeljati in preveriti naslednje zakone:

Lastnosti konstante:

Zakoni idempotence:

Ne glede na to, kolikokrat ponavljamo: TV je prižgan ali TV je prižgan ali TV je prižgan ... pomen izjave se ne bo spremenil. Podobno iz ponavljanja je zunaj toplo, zunaj je toplo, ... ne bo postalo niti za stopinjo topleje.

Zakoni komutativnosti:

A v B = B v A

A & B = B & A

Operanda A in B v operacijah disjunkcije in konjunkcije je mogoče zamenjati.

Zakoni asociativnosti:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Če izraz uporablja samo operacijo disjunkcije ali samo operacijo konjunkcije, lahko oklepaje zanemarite ali jih razporedite poljubno.

Distributivni zakoni:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributivna disjunkcija
glede konjunkcije)

A & (B proti C) = (A & B) proti (A & C)

(distributivnost veznika
glede disjunkcije)

Distributivni zakon konjunkcije glede na disjunkcijo je podoben zakonu distribucije v algebri, vendar zakon distribucijske disjunkcije glede na konjunkcijo nima analogije, velja le v logiki. Zato ga je treba dokazati. Dokaz je najbolje narediti s tabelo resnic:

Zakoni absorpcije:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Dokaz absorpcijskih zakonov izvedite sami.

De Morganovi zakoni:

Verbalne formulacije de Morganovih zakonov:

Mnemotehnično pravilo: na levi strani identitete je operacija negacije nad celotno izjavo. Na desni strani se zdi, da je prekinjena in negacija stoji nad vsako od enostavnih izjav, hkrati pa se spreminja operacija: disjunkcija v konjunkcijo in obratno.

Primeri izvajanja de Morganovega zakona:

1) Trditev Ni res, da znam arabsko ali kitajsko, je enaka trditvi Ne znam arabsko in ne znam kitajsko.

2) Trditev Ni res, da sem se naučil lekcije in dobil dvojko, saj je identična trditvi Ali se nisem naučil lekcije ali pa za to nisem dobil dvojke.

Zamenjava implikacijskih in ekvivalenčnih operacij

Operacije implikacije in enakovrednosti včasih niso med logičnimi operacijami določenega računalnika ali prevajalnika iz programskega jezika. Vendar so te operacije potrebne za reševanje številnih težav. Obstajajo pravila za zamenjavo teh operacij z zaporedji operacij negacije, disjunkcije in konjunkcije.

Torej lahko operacijo implikacije zamenjate v skladu z naslednjim pravilom:

Obstajata dve pravili za zamenjavo operacije enakovrednosti:

Veljavnost teh formul je enostavno preveriti z izdelavo tabel resnic za desno in levo stran obeh identitet.

Poznavanje pravil za zamenjavo operacij implikacije in ekvivalence pomaga na primer pri pravilni konstrukciji negacije implikacije.

Razmislite o naslednjem primeru.

Naj bo podana izjava:

E = Ni res, da bom prejel nagrado, če bom zmagal na tekmovanju.

Pustiti A = Zmagal bom na tekmovanju,

B = Prejel bom nagrado.

Potem

Od tod, E = Zmagal bom na tekmovanju, vendar ne bom prejel nagrade.

Vrnitev