तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे समतुल्य, TI आणि TL सूत्रे. मूलभूत समतुल्यता. (लॉजिकल ऑपरेशन्सचे कायदे). द्वैताचा नियम. एकल घटकांचा बुलियन बीजगणित कायदा

तर्कशास्त्र- एक विज्ञान जे विचारांचे नियम आणि स्वरूपांचा अभ्यास करते; तर्क आणि पुराव्याच्या पद्धतींचा सिद्धांत.

जगाचे नियम, वस्तूंचे सार, त्यातले साम्य हे आपण अमूर्त विचारातून शिकतो. अमूर्त विचारसरणीचे मुख्य प्रकार म्हणजे संकल्पना, निर्णय आणि निष्कर्ष.

संकल्पना- विचारांचा एक प्रकार जो वैयक्तिक वस्तू किंवा एकसंध वस्तूंच्या वर्गाची आवश्यक वैशिष्ट्ये प्रतिबिंबित करतो. भाषेतील संकल्पना शब्दांतून व्यक्त होतात.

संकल्पनेची व्याप्ती- ऑब्जेक्ट्सचा एक संच, ज्यापैकी प्रत्येकामध्ये गुणधर्म आहेत जे संकल्पनेची सामग्री बनवतात. सामान्य आणि एकवचनी संकल्पना वेगळे आहेत.

संकल्पनांचे खालील संबंध खंडानुसार ओळखले जातात:

• ओळखकिंवा खंडांचा योगायोग, म्हणजे एका संकल्पनेची मात्रा दुसर्‍या संकल्पनेच्या व्हॉल्यूमच्या बरोबरीची आहे;
• अधीनताकिंवा खंडांचा समावेश: एका संकल्पनेचा खंड दुसऱ्याच्या खंडामध्ये पूर्णपणे समाविष्ट आहे;
• अपवादव्हॉल्यूम्स - एक केस ज्यामध्ये दोन खंडांमध्ये एक वैशिष्ट्य नाही;
• छेदनबिंदूकिंवा खंडांचा आंशिक योगायोग;
• अधीनताखंड - जेव्हा दोन संकल्पनांचे खंड, एकमेकांना वगळून, तिसऱ्याच्या खंडात समाविष्ट केले जातात तेव्हा.

निवाडा- हा विचार करण्याचा एक प्रकार आहे ज्यामध्ये वस्तू, चिन्हे किंवा त्यांच्या संबंधांबद्दल काहीतरी पुष्टी किंवा नाकारली जाते.

अनुमान- विचारांचा एक प्रकार, ज्याद्वारे एक किंवा अधिक निर्णयांमधून, ज्याला परिसर म्हणतात, आम्ही, अनुमानांच्या काही नियमांनुसार, निर्णय-निष्कर्ष प्राप्त करतो.

बीजगणितशब्दाच्या व्यापक अर्थाने, बेरीज आणि गुणाकार सारख्या सामान्य ऑपरेशन्सचे विज्ञान, जे केवळ संख्यांवरच नाही तर इतर गणितीय वस्तूंवर देखील केले जाऊ शकते.

बीजगणितांची उदाहरणे: नैसर्गिक संख्यांचे बीजगणित, परिमेय संख्यांचे बीजगणित, बहुपदींचे बीजगणित, सदिशांचे बीजगणित, मॅट्रिक्सचे बीजगणित, संचांचे बीजगणित इ. तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या वस्तू किंवा बुलियन बीजगणित हे प्रस्ताव आहेत.

विधान- हे कोणत्याही भाषेचे कोणतेही वाक्य (विधान) आहे, ज्याची सामग्री सत्य किंवा खोटी म्हणून निर्धारित केली जाऊ शकते.

प्रत्येक प्रस्ताव एकतर खरा किंवा खोटा आहे; ते एकाच वेळी दोन्ही असू शकत नाही.

नैसर्गिक भाषेत, उच्चार घोषणात्मक वाक्यांमध्ये व्यक्त केले जातात. उद्गारात्मक आणि प्रश्नार्थक वाक्ये विधाने नाहीत.

गणितीय, भौतिक, रासायनिक आणि इतर चिन्हे वापरून विधाने व्यक्त केली जाऊ शकतात. दोन संख्यात्मक अभिव्यक्तींमधून, त्यांना समान किंवा असमानता चिन्हांसह जोडून विधाने केली जाऊ शकतात.

निवेदन म्हणतात सोपे(प्राथमिक) जर त्याचा कोणताही भाग स्वतः विधान नसेल.

साध्या विधानांनी बनलेले विधान म्हणतात संमिश्र(कठीण).

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितातील साधी विधाने कॅपिटल लॅटिन अक्षरांद्वारे दर्शविली जातात:
परंतु= (अॅरिस्टॉटल तर्कशास्त्राचा संस्थापक आहे),
एटी= (सफरचंद झाडांवर केळी वाढतात).

साध्या विधानांचे सत्य किंवा असत्य हे तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या बाहेर ठरवले जाते. उदाहरणार्थ, विधानाचे सत्य किंवा असत्यता: "त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180 अंश आहे" हे भूमितीद्वारे स्थापित केले जाते, आणि - युक्लिडच्या भूमितीमध्ये हे विधान सत्य आहे आणि लोबाचेव्हस्कीच्या भूमितीमध्ये ते खोटे आहे.

सत्य विधान 1, खोटे - 0 नियुक्त केले आहे. अशा प्रकारे, परंतु = 1, एटी = 0.

तर्कशास्त्राचे बीजगणित विधानांच्या शब्दार्थ सामग्रीमधून अमूर्त केले जाते. तिला फक्त एकाच वस्तुस्थितीत रस आहे - दिलेले विधान सत्य किंवा असत्य आहे, ज्यामुळे बीजगणितीय पद्धतींद्वारे मिश्र विधानांचे सत्य किंवा असत्यता निश्चित करणे शक्य होते.

प्रस्तावित बीजगणिताची मूलभूत क्रिया.

तार्किक ऑपरेशन CONJUNCTION(lat. conjunctio - मी बांधतो):

• नैसर्गिक भाषेत संयोगाशी संबंधित आहे आणि;
• पदनाम: & ;
• प्रोग्रामिंग भाषांमध्ये नोटेशन आहे: आणि;
• दुसरे नाव: तार्किक गुणाकार.

संयोग ही एक तार्किक क्रिया आहे जी प्रत्येक दोन साध्या विधानांना कंपाऊंड स्टेटमेंटशी जोडते जी जर आणि फक्त दोन्ही मूळ विधाने सत्य असतील तरच सत्य असते.

संयोजन सत्य सारणी:

परंतु	एटी	परंतु&एटी
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

तार्किक ऑपरेशन डिस्जंक्शन(lat. disjunctio - मी फरक करतो):

विघटन ही एक तार्किक क्रिया आहे जी प्रत्येक दोन साध्या विधानांना कंपाऊंड स्टेटमेंटशी जोडते जे असत्य असेल तरच आणि जर दोन्ही मूळ विधाने असत्य आणि सत्य असतील तर दोन विधानांपैकी किमान एक सत्य असेल.

वियोग सत्य सारणी:

परंतु	एटी	परंतुएटी
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

तार्किक ऑपरेशन INVERSE(lat. inversio - turn over):

नकारात्मकता ही एक तार्किक क्रिया आहे जी प्रत्येक साध्या विधानाला कंपाऊंड स्टेटमेंटशी जोडते, ज्यामध्ये मूळ विधान नकारलेले असते.

नकारात्मक सत्य सारणी:

परंतु	ए नाही
0	1
1	0

लॉजिकल अॅडिशन फंक्शन OR (LogValue1;LogValue2;…) फक्त TRUE (True) चे मूल्यमापन करते जेव्हा किमान एक बुलियन आर्ग्युमेंट TRUE (1) असेल.

तार्किक वितर्क FALSE (0) असताना NOT(LogValue) चे मूल्यमापन TRUE (True) होते आणि याउलट, जेव्हा तार्किक युक्तिवाद TRUE (1) असतो तेव्हा मूल्य FALSE (False) असते.

तार्किक ऑपरेशन IMPLICATION(lat. implicatio - मी जवळून संबद्ध आहे):

इम्प्लिकेशन हे एक तार्किक ऑपरेशन आहे जे प्रत्येक दोन साध्या विधानांना कंपाऊंड स्टेटमेंटशी जोडते जे चुकीचे असेल तरच जर अट (पहिले विधान) सत्य असेल आणि परिणाम (दुसरे विधान) चुकीचे असेल.

तात्पर्य सत्य सारणी:

परंतु	एटी	परंतुएटी
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

तार्किक ऑपरेशन EQUIVALENCE(lat. equivalens - समतुल्य):

• नैसर्गिक भाषेत भाषणाच्या वळणांशी संबंधित आहे तेव्हा आणि फक्त तेव्हाचआणि जर आणि फक्त तर;
• पदनाम: ~ ;
• दुसरे नाव: समतुल्यता.

समतुल्यता ही एक तार्किक क्रिया आहे जी प्रत्येक दोन सोप्या विधानांना एक मिश्र विधान नियुक्त करते जे खरे असेल आणि फक्त जर दोन्ही मूळ विधाने सत्य किंवा दोन्ही खोटी असतील.

समतुल्य सत्य सारणी:

परंतु	एटी	परंतु~एटी
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

तार्किक ऑपरेशन्सना खालील प्राधान्य असते: कंसातील क्रिया, व्युत्क्रमण, &, , ~.

कंपाऊंड स्टेटमेंट त्याच्या सोप्या विधानांच्या मूल्यांच्या सर्व संयोजनांसाठी (संच) काय मूल्ये घेते हे दर्शविणारी सारणी म्हणतात. सत्य सारणीसंयुक्त उच्चार.

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितातील मिश्र विधाने तार्किक अभिव्यक्ती वापरून लिहिली जातात. कोणत्याही तार्किक अभिव्यक्तीसाठी, फक्त सत्य सारणी तयार करणे पुरेसे आहे.

सत्य सारणी तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम:

1. व्हेरिएबल्सची संख्या मोजा nतार्किक अभिव्यक्तीमध्ये;
2. टेबलमधील पंक्तींची संख्या निश्चित करा मी = 2 n ;
3. सूत्रातील तार्किक ऑपरेशन्सची संख्या मोजा;
4. कंस आणि प्राधान्यक्रम लक्षात घेऊन तार्किक ऑपरेशन्सच्या अंमलबजावणीचा क्रम स्थापित करा;
5. टेबलमधील स्तंभांची संख्या निश्चित करा: व्हेरिएबल्सची संख्या अधिक ऑपरेशन्सची संख्या;
6. इनपुट व्हेरिएबल्सचे संच लिहा, ते 0 ते 2 मधील एन-बिट बायनरी संख्यांची नैसर्गिक मालिका आहे हे लक्षात घेऊन n -1;
7. खंड 4 मध्ये स्थापित केलेल्या क्रमानुसार लॉजिकल ऑपरेशन्स करून, स्तंभांद्वारे सत्य सारणी भरा.

इनपुट व्हेरिएबल्सचे संच, त्रुटी टाळण्यासाठी, खालीलप्रमाणे सूचीबद्ध करण्याची शिफारस केली जाते:
अ) इनपुट व्हेरिएबल्सच्या संचांची संख्या निश्चित करा;
ब) पहिल्या व्हेरिएबलच्या मूल्यांचा स्तंभ अर्ध्यामध्ये विभाजित करा आणि स्तंभाचा वरचा भाग 0 आणि खालचा भाग -1 भरा;
c) दुसऱ्या व्हेरिएबलच्या मूल्यांच्या स्तंभाला चार भागांमध्ये विभाजित करा आणि प्रत्येक तिमाही 0 किंवा 1 च्या पर्यायी गटांसह भरा, गट 0 ने सुरू करा;
d) त्यानंतरच्या व्हेरिएबल्सच्या मूल्यांचे स्तंभ 8, 16, इत्यादींनी विभाजित करणे सुरू ठेवा. भाग आणि त्यांना गट 0 किंवा 1 ने भरणे 0 आणि 1 पर्यंत गट एक वर्ण असणार नाही.

उदाहरण. A&(B C) सूत्रासाठी, बीजगणितानुसार आणि स्प्रेडशीट वापरून सत्य सारणी तयार करा.

बुलियन व्हेरिएबल्सची संख्या 3 आहे, म्हणून सत्य सारणीतील पंक्तींची संख्या 2 3 = 8 असावी.

सूत्रातील तार्किक क्रियांची संख्या 5 आहे, म्हणून, सत्य सारणीतील स्तंभांची संख्या 3 + 5 = 8 असावी.

परंतु	एटी	सी	एटीसी	परंतु & (एटीसी)
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

बुलियन फंक्शनफंक्शनला कॉल करा F(X 1, X 2, ..., X n), ज्यांचे युक्तिवाद X 1, X 2, ..., X n(स्वतंत्र व्हेरिएबल्स) आणि फंक्शन स्वतः (आश्रित व्हेरिएबल) 0 किंवा 1 मूल्ये घेतात.

लॉजिकल फंक्शन त्याच्या वितर्कांच्या मूल्यांच्या सर्व संयोजनांसाठी काय मूल्ये घेते हे दर्शविणाऱ्या सारणीला तार्किक कार्याचे सत्य सारणी म्हणतात. लॉजिक फंक्शन सत्य सारणी nयुक्तिवादांमध्ये 2 आहेत nओळी, nवितर्क मूल्य स्तंभ आणि 1 कार्य मूल्य स्तंभ.

लॉजिक फंक्शन्स टॅब्युलर पद्धतीने किंवा विश्लेषणात्मकपणे - योग्य सूत्रांच्या स्वरूपात निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात.

जर तार्किक फंक्शन वियोग, संयोग आणि व्युत्क्रम वापरून प्रस्तुत केले असेल, तर या स्वरूपाचे प्रतिनिधित्व म्हणतात. सामान्य.

दोन व्हेरिएबल्समधून 16 भिन्न लॉजिकल फंक्शन्स आहेत.

बुलियन अभिव्यक्तीम्हणतात समतुल्य, जर त्यांची सत्य मूल्ये त्यांच्यामध्ये समाविष्ट असलेल्या तार्किक चलांच्या कोणत्याही मूल्यांशी जुळत असतील.

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितामध्ये, अनेक कायदे आहेत जे तार्किक अभिव्यक्तींच्या समतुल्य रूपांतरांना परवानगी देतात. हे कायदे प्रतिबिंबित करणारे संबंध सादर करूया.

1. दुहेरी नकाराचा नियम:
   not (A नाही) = A.
   दुहेरी नकार नकार वगळतो.
2. कम्युटेटिव्ह (कम्युटेटिव्ह) कायदा:
   - तार्किक जोडण्यासाठी:
   A B = B A;

   
   A&B=B&A.

   स्टेटमेंट्सवरील ऑपरेशनचे परिणाम ही विधाने कोणत्या क्रमाने घेतली जातात यावर अवलंबून नाही.

3. असोसिएटिव्ह (सहकारी) कायदा:
   - तार्किक जोडण्यासाठी:
   (A B) C = A (B C);

   तार्किक गुणाकारासाठी:
   (A & B) & C = A & (B & C).

   समान चिन्हे सह, कंस अनियंत्रितपणे ठेवल्या जाऊ शकतात किंवा अगदी वगळल्या जाऊ शकतात.

4. वितरणात्मक (वितरणात्मक) कायदा:
   - तार्किक जोडण्यासाठी:
   (A B) & C = (A & C) (B & C);

   तार्किक गुणाकारासाठी:
   (A & B) C = (A C) & (B C).

   सामान्य विधान ब्रॅकेट करण्यासाठी नियम परिभाषित करते.

5. सामान्य उलथापालथ कायदा (डी मॉर्गनचे नियम):
   - तार्किक जोडण्यासाठी:
   ;

   तार्किक गुणाकारासाठी:
   .

6. इडम्पोटेन्सचा कायदा (लॅटिन शब्द आयडेम - समान आणि पोटेंस - मजबूत; शब्दशः - समतुल्य):
   - तार्किक जोडण्यासाठी:
   अ अ = अ;

   तार्किक गुणाकारासाठी:
   A&A=A.

   कायदा म्हणजे घातांक नाही.

7. सतत अपवर्जन कायदे:
   - तार्किक जोडण्यासाठी:
   A 1 = 1, A 0 = A;

   तार्किक गुणाकारासाठी:
   A&1 = A, A&0 = 0.

8. विरोधाभासाचा नियम:
   A आणि (A नाही) = 0.

   परस्परविरोधी विधाने एकाच वेळी सत्य असणे अशक्य आहे.

9. तिसरा वगळण्याचा कायदा:
   A (A नाही) = 1.

   एकाच विषयावरील दोन परस्परविरोधी विधानांपैकी एक नेहमी सत्य असते आणि दुसरे असत्य असते, तिसरे दिले जात नाही.

10. शोषण कायदा:
    - तार्किक जोडण्यासाठी:
    A(A&B)=A;

    तार्किक गुणाकारासाठी:
    A आणि (A B) = A.

11. वगळण्याचा कायदा (ग्लूइंग):
    - तार्किक जोडण्यासाठी:
    (A & B) (& B) = B;

    तार्किक गुणाकारासाठी:
    (A B) आणि (B) = B.

12. कॉन्ट्रापोझिशनचा नियम (उलटा नियम):
    (AB) = (BA).

    वरील कायद्यांची वैधता सारणी पद्धतीने सिद्ध केली जाऊ शकते: A आणि B मूल्यांचे सर्व संच लिहा, त्यावर सिद्ध केलेल्या अभिव्यक्तीच्या डाव्या आणि उजव्या भागांच्या मूल्यांची गणना करा आणि याची खात्री करा. परिणामी स्तंभ जुळतात.

उदाहरण.बुलियन अभिव्यक्ती सुलभ करा:

1. एफिमोवा ओ., मोरोझोव्ह व्ही., उग्रिनोविच एन. माहितीशास्त्राच्या मूलभूत गोष्टींसह संगणक तंत्रज्ञानाचा कोर्स. वरिष्ठ वर्गांसाठी पाठ्यपुस्तक. - एम.: एलएलसी "एएसटी पब्लिशिंग हाऊस"; ABF, 2000
2. टास्कबुक-माहितीशास्त्रावरील कार्यशाळा. 2 खंडांमध्ये / एड. I.Semakina, E.Khenner. - एम.: मूलभूत ज्ञान प्रयोगशाळा, 2001
3. उग्रीनोविच एन. माहितीशास्त्र आणि माहिती तंत्रज्ञान. ग्रेड 10-11 - एम.: मूलभूत ज्ञान प्रयोगशाळा, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तके", 2001

"औपचारिक तर्कशास्त्राची मूलभूत तत्त्वे" या विषयावरील कार्ये आणि चाचण्या

• DBMS प्रवेश तर्क - तार्किक आणि गणितीय मॉडेल इयत्ता 10

  धडे: 5 असाइनमेंट: 9 प्रश्नमंजुषा: 1

• गणितीय तर्काद्वारे तार्किक समस्या सोडवणे

  धडे: 4 असाइनमेंट: 6 चाचण्या: 1

प्रिय विद्यार्थी!

कार्य 1 तीन विषय सादर करते जे "माहिती तंत्रज्ञान" या अभ्यासक्रमाचा आधार बनतात. आम्‍हाला आशा आहे की तुम्‍हाला संगणकाचा कमीत कमी अनुभव आहे आणि तुम्‍हाला मिडल स्‍कूलमध्‍ये त्‍याच्‍या डिव्‍हाइसची ओळख झाली आहे.

"संगणक संप्रेषण. इंटरनेट" हा विषय अलीकडे खूप स्वारस्य आहे, बरेच तरुण लोक त्यांचा जवळजवळ सर्व मोकळा वेळ जागतिक नेटवर्कमध्ये घालवतात. मी तुम्हाला आठवण करून देऊ इच्छितो की इंटरनेटवरील प्रभुत्व म्हणजे केवळ नेटवर्क "सर्फ" करण्याची आणि वेळोवेळी मनोरंजक "चॅट्स" ला भेट देण्याची क्षमता नाही तर जागतिक नेटवर्कमध्ये माहिती आयोजित करण्याची तत्त्वे समजून घेणे, त्याची रचना समजून घेणे, प्रोटोकॉल, ब्राउझर आणि ई-मेल प्रोग्राम्स कॉन्फिगर करण्यात सक्षम व्हा, इंटरनेटवर काम करण्याचे नैतिकता जाणून घ्या आणि त्यांचे निरीक्षण करा आणि अर्थातच नेटवर्कचा वापर त्याच्या सर्वात महत्त्वाच्या उद्देशासाठी - एखाद्याचे क्षितिज विस्तृत करण्यासाठी.

वेब मुख्यपृष्ठ तयार करण्यासाठी किमान ज्ञान अतिरिक्त साहित्यातून मिळू शकते यावर विश्वास ठेवून आम्ही या कोर्समध्ये वेब साइट्स तयार करण्याचे तंत्रज्ञान समाविष्ट केले नाही. व्यावसायिक स्तरावर साइट्स तयार करण्यासाठी काही प्रशिक्षण आवश्यक आहे, जे मजकूर आणि ग्राफिक्ससह कार्य करण्याच्या कौशल्यांवर तसेच प्रोग्राम करण्याच्या क्षमतेवर आधारित आहे.

"लॉजिक" हा विषय सहसा विद्यार्थ्यांमध्ये काही गोंधळ निर्माण करतो, प्रत्येकाला या विषयाचा अभ्यास करण्याचे महत्त्व समजत नाही. मी हे लक्षात घेऊ इच्छितो की तर्कशास्त्राचे ज्ञान केवळ प्रोग्रामिंग भाषा आणि डेटाबेससह कार्य करण्याच्या तत्त्वांच्या पुढील अभ्यासासाठीच नव्हे तर विशिष्ट प्रकारच्या विचारसरणीच्या विकासासाठी "सिम्युलेटर" म्हणून देखील महत्त्वाचे आहे. तर्कशास्त्राच्या अभ्यासात प्रावीण्य मिळविलेल्या व्यक्तीला संवादाचे प्रचंड फायदे आहेत. तुमच्या पत्त्यात हे ऐकणे खूप आनंददायक आहे: "हे तार्किक आहे", "तुमच्या तर्कामध्ये तर्क आहे."

माहितीशास्त्रावरील धडा सामान्य शिक्षण शाळेच्या 10 व्या इयत्तेच्या विद्यार्थ्यांसाठी डिझाइन केला आहे, ज्याच्या अभ्यासक्रमात "लॉजिकचे बीजगणित" हा विभाग समाविष्ट आहे. हा विषय विद्यार्थ्यांसाठी खूप कठीण आहे, म्हणून मला, एक शिक्षक म्हणून, त्यांना तर्कशास्त्राच्या नियमांचा अभ्यास करण्यात, तार्किक अभिव्यक्ती सुलभ करण्यात आणि तार्किक समस्यांचे निराकरण स्वारस्याने शोधण्यात रस घ्यायचा होता. नेहमीच्या स्वरूपात, या विषयावर धडे देणे कंटाळवाणे आणि त्रासदायक आहे आणि काही व्याख्या नेहमीच मुलांसाठी स्पष्ट नसतात. माहितीच्या जागेच्या तरतुदीच्या संदर्भात, मला माझे धडे “लर्निंग” शेलमध्ये पोस्ट करण्याची संधी मिळाली. विद्यार्थी, त्यात नोंदणी करून, त्यांच्या मोकळ्या वेळेत या कोर्सला उपस्थित राहू शकतात आणि धड्यात जे स्पष्ट नव्हते ते पुन्हा वाचू शकतात. आजारपणामुळे धडे चुकलेले काही विद्यार्थी घरी किंवा शाळेत चुकलेल्या विषयाची पूर्तता करतात आणि पुढील धड्यासाठी नेहमी तयार असतात. शिकवण्याचा हा प्रकार बर्‍याच मुलांना खूप अनुकूल होता आणि त्यांना न समजणारे कायदे आता संगणकाच्या स्वरूपात खूप सोपे आणि जलद शिकले जातात. मी यापैकी एक माहितीशास्त्र धडे ऑफर करतो, जो ICT सह एकत्रितपणे आयोजित केला जातो.

धडा योजना

1. संगणकाच्या सहभागासह नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण - 25 मिनिटे.
2. "शिक्षण" मध्ये मांडलेल्या मूलभूत संकल्पना आणि व्याख्या - 10 मिनिटे.
3. जिज्ञासूंसाठी साहित्य - 5 मिनिटे.
4. गृहपाठ - 5 मिनिटे.

1. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण

औपचारिक तर्कशास्त्राचे नियम

विचारांमधील सर्वात सोपा आणि सर्वात आवश्यक खरा संबंध औपचारिक तर्कशास्त्राच्या मूलभूत नियमांमध्ये व्यक्त केला जातो. हे ओळखीचे नियम आहेत, विरोधाभास नसलेले, वगळलेले मध्यम, पुरेसे कारण.

हे कायदे मूलभूत आहेत कारण तर्कशास्त्रात ते विशेष महत्त्वाची भूमिका बजावतात, ते सर्वात सामान्य आहेत. ते तुम्हाला तार्किक अभिव्यक्ती सुलभ करण्यास आणि निष्कर्ष आणि पुरावे तयार करण्यास अनुमती देतात. वरीलपैकी पहिले तीन कायदे अॅरिस्टॉटलने ओळखले आणि तयार केले आणि पुरेशा कारणाचा कायदा - जी. लिबनिझ यांनी.

ओळखीचा नियम: विशिष्ट तर्काच्या प्रक्रियेत, प्रत्येक संकल्पना आणि निर्णय स्वतः सारखा असणे आवश्यक आहे.

गैर-विरोधाचा नियम: एकाच वेळी एक आणि एकच डोळा एकाच बाबतीत एकाच गोष्टीत अंतर्भूत असणे आणि नसणे अशक्य आहे. म्हणजेच, एकाच वेळी काहीतरी पुष्टी करणे आणि नाकारणे अशक्य आहे.

वगळलेल्या मध्याचा कायदा: दोन विरोधाभासी प्रस्तावांपैकी एक सत्य आहे, दुसरा खोटा आहे आणि तिसरा दिलेला नाही.

पुरेशा कारणाचा कायदा: प्रत्येक खरा विचार पुरेसा न्याय्य असला पाहिजे.

शेवटचा कायदा म्हणतो की एखाद्या गोष्टीचा पुरावा तंतोतंत आणि फक्त खऱ्या विचारांचे समर्थन करतो. खोटे विचार सिद्ध करता येत नाहीत. एक चांगली लॅटिन म्हण आहे: "चुकणे प्रत्येक व्यक्तीसाठी सामान्य आहे, परंतु केवळ मूर्खानेच चुकीचा आग्रह धरला पाहिजे." या कायद्याचे कोणतेही सूत्र नाही, कारण त्यात केवळ एक मूलतत्त्व आहे. खरे निर्णय, तथ्यात्मक सामग्री, सांख्यिकी डेटा, विज्ञानाचे कायदे, स्वयंसिद्ध, सिद्ध प्रमेये यांचा उपयोग खऱ्या विचाराची पुष्टी करण्यासाठी युक्तिवाद म्हणून केला जाऊ शकतो.

प्रस्तावित बीजगणिताचे नियम

प्रपोझिशन्सचे बीजगणित (तर्कशास्त्राचे बीजगणित) हा गणितीय तर्कशास्त्राचा एक विभाग आहे जो प्रस्तावांवर तार्किक ऑपरेशन्स आणि जटिल प्रस्तावांचे रूपांतर करण्याच्या नियमांचा अभ्यास करतो.

अनेक तार्किक समस्या सोडवताना, त्यांच्या अटींचे औपचारिकीकरण करून प्राप्त केलेली सूत्रे सुलभ करणे आवश्यक असते. प्रपोझिशनच्या बीजगणितातील सूत्रांचे सरलीकरण मूलभूत तार्किक कायद्यांच्या आधारे समतुल्य परिवर्तनांच्या आधारे केले जाते.

प्रपोझिशन्सच्या बीजगणिताचे नियम (तर्कशास्त्राचे बीजगणित) टोटोलॉजीज आहेत.

कधीकधी या नियमांना प्रमेय म्हणतात.

प्रस्तावित बीजगणितामध्ये, तार्किक कायदे समतुल्य सूत्रांची समानता म्हणून व्यक्त केले जातात. कायद्यांमध्ये, ज्यामध्ये एक व्हेरिएबल आहे ते विशेषतः वेगळे केले जातात.

खालीलपैकी पहिले चार कायदे प्रस्तावित बीजगणिताचे मूलभूत नियम आहेत.

ओळख कायदा:

प्रत्येक संकल्पना आणि निर्णय स्वतः सारखाच असतो.

ओळखीच्या नियमाचा अर्थ असा आहे की तर्क प्रक्रियेत एक विचार दुसर्‍या विचाराने, एक संकल्पना दुसर्‍या संकल्पनेने बदलू शकत नाही. या कायद्याचे उल्लंघन केल्यास, तार्किक त्रुटी शक्य आहेत.

उदाहरणार्थ, चर्चा ते बरोबर म्हणतात की जीभ तुम्हाला कीवमध्ये आणेल, परंतु मी काल स्मोक्ड जीभ विकत घेतली, याचा अर्थ आता मी सुरक्षितपणे कीवला जाऊ शकेन.चुकीचे, कारण पहिले आणि दुसरे शब्द "भाषा" भिन्न संकल्पना दर्शवतात.

चर्चेत: चळवळ शाश्वत आहे. शाळेत जाणे ही चळवळ आहे. म्हणून, शाळेत जाणे कायमचे आहे"गती" हा शब्द दोन वेगवेगळ्या अर्थांमध्ये वापरला जातो (पहिला - तात्विक अर्थाने - पदार्थाचा गुणधर्म म्हणून, दुसरा - सामान्य अर्थाने - अंतराळात जाण्याची क्रिया म्हणून), ज्यामुळे चुकीचा निष्कर्ष निघतो.

गैर-विरोधाचा कायदा:

एक प्रस्ताव आणि त्याचे नकार एकाच वेळी खरे असू शकत नाहीत. म्हणजे, जर विधान परंतुसत्य आहे, मग त्याचे नकार ए नाहीअसत्य असणे आवश्यक आहे (आणि उलट). मग त्यांचे उत्पादन नेहमी खोटे असेल.

ही समानता आहे जी जटिल तार्किक अभिव्यक्ती सरलीकृत करताना वापरली जाते.

काहीवेळा हा कायदा खालीलप्रमाणे तयार केला जातो: दोन विधाने जी एकमेकांना विरोध करतात ते एकाच वेळी सत्य असू शकत नाहीत. गैर-विरोध कायद्याचे पालन न करण्याची उदाहरणे:

1. मंगळावर जीवसृष्टी आहे आणि मंगळावर जीवसृष्टी नाही.

2. ओल्या हायस्कूलमधून पदवीधर झाली आहे आणि ती 10 व्या वर्गात आहे.

वगळलेल्या मध्याचा कायदा:

त्याच क्षणी, विधान एकतर खरे किंवा खोटे असू शकते, तेथे तिसरे नाही. एकतर खरे परंतु,किंवा ए नाहीवगळलेल्या मध्यम कायद्याच्या अंमलबजावणीची उदाहरणे:

1. 12345 ही संख्या सम किंवा विषम आहे, तिसरा नाही.

2. कंपनी तोट्यात किंवा ब्रेकइव्हनमध्ये कार्यरत आहे.

3. हा द्रव आम्ल असू शकतो किंवा नसू शकतो.

वगळलेल्या मध्याचा कायदा हा सर्व तर्कशास्त्रज्ञांनी तर्कशास्त्राचा सार्वत्रिक कायदा म्हणून ओळखला जाणारा कायदा नाही. हा कायदा लागू केला जातो जेथे ज्ञान कठोर परिस्थितीशी संबंधित आहे: "एकतर - किंवा", "सत्य-असत्य". जेथे अनिश्चितता आहे (उदाहरणार्थ, भविष्याबद्दल तर्क करताना), वगळलेल्या मध्याचा कायदा अनेकदा लागू केला जाऊ शकत नाही.

खालील विधान विचारात घ्या: ही सूचना खोटी आहे.ते खरे असू शकत नाही कारण ते खोटे असल्याचा दावा करते. पण ते खोटेही असू शकत नाही, कारण ते खरे असेल. हे विधान सत्य किंवा खोटे नाही आणि म्हणून वगळलेल्या मध्याच्या कायद्याचे उल्लंघन केले आहे.

विरोधाभास(ग्रीक विरोधाभास - अनपेक्षित, विचित्र) या उदाहरणात वाक्य स्वतःला सूचित करते या वस्तुस्थितीतून उद्भवते. आणखी एक प्रसिद्ध विरोधाभास म्हणजे केशभूषा समस्या: एका शहरात, एक केशभूषाकार स्वतःचे केस कापणारे वगळता सर्व रहिवाशांचे केस कापतो. नाईचे केस कोण कापते?तर्कशास्त्रात, त्याच्या औपचारिकतेमुळे, अशा स्व-संदर्भ विधानाचे स्वरूप प्राप्त करणे शक्य नाही. हे पुन्हा एकदा या कल्पनेची पुष्टी करते की तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या मदतीने सर्व संभाव्य विचार आणि युक्तिवाद व्यक्त करणे अशक्य आहे. प्रस्तावित समतुल्यतेच्या व्याख्येच्या आधारे, प्रस्तावित बीजगणिताचे उर्वरित नियम कसे मिळवता येतात ते आपण दाखवू.

उदाहरणार्थ, समतुल्य काय आहे ते परिभाषित करूया (च्या समतुल्य) परंतु(दोनदा नाही परंतु,म्हणजे नकाराचे नकार परंतु).हे करण्यासाठी, आम्ही एक सत्य सारणी तयार करू:

समतुल्यतेच्या व्याख्येनुसार, आपण स्तंभ शोधला पाहिजे ज्याची मूल्ये स्तंभाच्या मूल्यांशी जुळतात परंतु.हा स्तंभ असेल परंतु.

अशा प्रकारे, आपण तयार करू शकतो दुहेरी कायदानकार:

जर आपण काही विधान दोनदा नाकारले तर त्याचा परिणाम मूळ विधान आहे. उदाहरणार्थ, विधान परंतु= मॅट्रोस्किन- मांजरम्हणण्यासारखे आहे अ = मॅट्रोस्किन मांजर नाही हे खरे नाही.

त्याचप्रमाणे, खालील कायदे व्युत्पन्न आणि सत्यापित केले जाऊ शकतात:

स्थिर गुणधर्म:

निर्दोषतेचे नियम:

आम्ही किती वेळा पुनरावृत्ती करतो हे महत्त्वाचे नाही: टीव्हीवर किंवा टीव्हीवर किंवा टीव्हीवर...वाक्याचा अर्थ बदलणार नाही. त्याचप्रमाणे पुनरावृत्ती पासून बाहेर उबदार आहे, बाहेर उबदार आहे ...एक अंश जास्त गरम नाही.

कम्युटेटिव्हिटीचे नियम:

A v B = B v A

A & B = B & A

ऑपरेंड परंतुआणि एटीवियोग आणि संयोगाच्या ऑपरेशन्समध्ये अदलाबदल होऊ शकते.

असोसिएटिव्हिटी कायदे:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

जर अभिव्यक्ती फक्त विच्छेदन ऑपरेशन किंवा फक्त संयोजन ऑपरेशन वापरत असेल, तर तुम्ही कंसांकडे दुर्लक्ष करू शकता किंवा त्यांना अनियंत्रितपणे व्यवस्था करू शकता.

वितरण कायदे:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(वितरणात्मक विघटन
संयोगाबद्दल)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(संयोजनाची वितरणक्षमता
वियोग बद्दल)

वियोगाच्या संदर्भात संयोगाचा वितरणात्मक नियम बीजगणितातील वितरणात्मक कायद्याप्रमाणेच आहे, परंतु संयोगाच्या संदर्भात वितरणात्मक विघटनाच्या कायद्याला कोणतेही अनुरूप नाही, ते केवळ तर्कशास्त्रात वैध आहे. म्हणून, ते सिद्ध करणे आवश्यक आहे. सत्य सारणी वापरून पुरावा सर्वोत्तम केला जातो:

शोषण कायदे:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

अवशोषण कायद्यांचा पुरावा स्वत: पाळावा.

डी मॉर्गनचे कायदे:

डी मॉर्गनच्या नियमांची मौखिक सूत्रे:

मेमोनिक नियम:ओळखीच्या डाव्या बाजूला, नकाराची क्रिया संपूर्ण विधानाच्या वर असते. उजव्या बाजूला, तो तुटलेला दिसतो आणि प्रत्येक साध्या विधानाच्या वर नकार उभा राहतो, परंतु त्याच वेळी ऑपरेशन बदलते: वियोग ते संयोग आणि त्याउलट.

डी मॉर्गनच्या कायद्याच्या अंमलबजावणीची उदाहरणे:

1) विधान मला अरबी किंवा चिनी भाषा येते हे खरे नाहीविधानासारखे आहे मला अरबी येत नाही आणि मला चिनी भाषा येत नाही.

2) विधान मी माझा धडा शिकलो आणि त्यावर डी मिळवला हे खरे नाहीविधानासारखे आहे एकतर मी धडा शिकलो नाही, किंवा मला त्यावर A मिळाला नाही.

निहितार्थ आणि समतुल्य ऑपरेशन्सची बदली

इम्प्लिकेशन आणि इक्वॅलन्सची ऑपरेशन्स कधीकधी प्रोग्रामिंग भाषेतील विशिष्ट संगणक किंवा कंपाइलरच्या तार्किक ऑपरेशन्समध्ये नसतात. तथापि, अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी या ऑपरेशन्स आवश्यक आहेत. या ऑपरेशन्सच्या जागी नकार, विच्छेदन आणि संयोजन ऑपरेशन्सच्या अनुक्रमांसह नियम आहेत.

तर, ऑपरेशन बदला परिणामखालील नियमांनुसार शक्य आहे:

ऑपरेशन पुनर्स्थित करण्यासाठी समतुल्यतादोन नियम आहेत:

दोन्ही ओळखीच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंसाठी सत्य सारणी तयार करून या सूत्रांची वैधता सत्यापित करणे सोपे आहे.

इम्प्लिकेशन आणि इक्वॅलेन्सच्या ऑपरेशन्स बदलण्यासाठीच्या नियमांचे ज्ञान, उदाहरणार्थ, इम्प्लिकेशनचे नकार योग्यरित्या तयार करण्यात मदत करते.

खालील उदाहरणाचा विचार करा.

विधान दिले जाऊ द्या:

E = मी स्पर्धा जिंकली तर मला बक्षीस मिळेल हे खरे नाही.

द्या परंतु= मी स्पर्धा जिंकेन

B = मला बक्षीस मिळेल.

त्यामुळे, E = मी स्पर्धा जिंकेन, पण मला बक्षीस मिळणार नाही.

खालील नियम देखील स्वारस्य आहेत:

तुम्ही सत्य सारणी वापरून त्यांची वैधता देखील सिद्ध करू शकता.

नैसर्गिक भाषेतील त्यांची अभिव्यक्ती मनोरंजक आहे.

उदाहरणार्थ, वाक्यांश

जर विनी द पूहने मध खाल्ले तर तो भरलेला आहे

वाक्यांश सारखे आहे

जर विनी द पूह भरला नसेल तर त्याने मध खाल्ला नाही.

व्यायाम:या नियमांवरील वाक्यांश-उदाहरणांचा विचार करा.

2. मूलभूत संकल्पना आणि व्याख्यापरिशिष्ट 1 मध्ये

3. जिज्ञासूंसाठी साहित्यपरिशिष्ट 2 मध्ये

4. गृहपाठ

1) माहितीच्या जागेत (www.learning.9151394.ru) स्थित लॉजिक अभ्यासक्रमाचा बीजगणित वापरून तर्कशास्त्राचे नियम जाणून घ्या.

2) डी मॉर्गनच्या नियमांचे पुरावे पीसीवर सत्य सारणी तयार करून तपासा.

अर्ज

1. मूलभूत संकल्पना आणि व्याख्या (

§ चार. तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे समतुल्य, TI आणि TL सूत्रे. मूलभूत समतुल्यता. (लॉजिकल ऑपरेशन्सचे कायदे). द्वैताचा नियम.

व्याख्या.

तर्कशास्त्र A आणि B च्या बीजगणिताची दोन सूत्रे सूत्रांमध्ये समाविष्ट केलेल्या प्राथमिक प्रस्तावांच्या कोणत्याही संचावर समान तार्किक मूल्ये घेतल्यास त्यांना EQUIVALENT म्हणतात. सूत्रांची समतुल्यता º चिन्हाद्वारे दर्शविली जाईल, आणि नोटेशन A ºB म्हणजे सूत्रे A आणि B समतुल्य आहेत.

जर फॉर्म्युला A मध्ये समाविष्ट केलेल्या व्हेरिएबल्सच्या सर्व मूल्यांसाठी 1 मूल्य घेते तर त्याला IDENTICALLY TRUE (किंवा TAUTOLOGY) म्हणतात.

जर सूत्र त्यात समाविष्ट केलेल्या व्हेरिएबल्सच्या सर्व मूल्यांसाठी 0 हे मूल्य घेते तर त्याला ओळखपत्र चुकीचे (किंवा विरोधाभास) असे म्हणतात.

समतुल्यता आणि समतुल्यता या संकल्पनांमध्ये खालील संबंध आहे: जर सूत्र A आणि B समतुल्य असतील, तर सूत्र A"B एक टॅटोलॉजी आहे आणि त्याउलट, सूत्र A"B टॅटोलॉजी असल्यास, सूत्र A. आणि B समतुल्य आहेत.

तर्कशास्त्राच्या बीजगणितातील सर्वात महत्वाची समतुल्यता तीन गटांमध्ये विभागली जाऊ शकते.

1. मूलभूत समतुल्यता.

निर्दोषतेचे कायदे.

विरोधाभास कायदा

वगळलेल्या मध्याचा कायदा

दुहेरी नकारात्मक कायदा

शोषण कायदे

2. इतरांच्या दृष्टीने काही तार्किक क्रिया व्यक्त करणारी समतुल्यता.

येथे 3, 4, 5, 6 हे मॉर्गनचे नियम आहेत.

हे स्पष्ट आहे की समतुल्यता 3 आणि 4 पासून अनुक्रमे 5 आणि 6 प्राप्त होतात, जर आपण नंतरच्या दोन्ही भागांमधून नकार घेतला आणि दुहेरी नकार काढून टाकण्याचा नियम वापरला.

अशा प्रकारे, पहिल्या चार समानतेला पुरावा आवश्यक आहे. चला त्यापैकी एक सिद्ध करूया: पहिला.

x आणि y समान तार्किक मूल्यांसाठी सूत्रे सत्य आहेत https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. म्हणून, मध्ये या प्रकरणात, दोन्ही समतुल्य भागांचे खरे मूल्य समान आहे.

आता x आणि y ची भिन्न तार्किक मूल्ये असू द्या. मग समतुल्य आणि दोनपैकी एक तात्पर्य किंवा असत्य असेल. परंतु त्याच वेळी, संयोग देखील खोटा असेल. .

अशा प्रकारे, या प्रकरणात, समानतेच्या दोन्ही भागांचा समान तार्किक अर्थ आहे.

समानता 2 आणि 4 सारखेच सिद्ध झाले आहेत.

या गटाच्या समतुल्यतेवरून असे दिसून येते की तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे कोणतेही सूत्र त्याच्या समतुल्य सूत्राने बदलले जाऊ शकते, ज्यामध्ये फक्त दोन तार्किक क्रिया आहेत: संयोग आणि नकार किंवा वियोग आणि नकार.

तार्किक ऑपरेशन्सचे पुढील वगळणे शक्य नाही. म्हणून, जर आपण फक्त संयोग वापरला, तर संयोग क्रिया वापरून नकार सारखे सूत्र व्यक्त केले जाऊ शकत नाही.

तथापि, अशी ऑपरेशन्स आहेत ज्याद्वारे आपण वापरत असलेल्या पाच तार्किक ऑपरेशन्सपैकी कोणतेही व्यक्त केले जाऊ शकतात. असे ऑपरेशन आहे, उदाहरणार्थ, "शेफर स्ट्रोक" ऑपरेशन. हे ऑपरेशन ½ left " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt"> चिन्हाने सूचित केले आहे.

"प्राचीन" इलेक्ट्रॉनिक संगणकांवर आधारित आधुनिक संगणक ऑपरेशनचे मूलभूत तत्त्वे म्हणून विशिष्ट पोस्ट्युलेट्सवर आधारित आहेत. त्यांना तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे नियम म्हणतात. प्रथमच, अशा शिस्तीचे वर्णन प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञ अॅरिस्टॉटलने केले (अर्थातच, त्याच्या आधुनिक स्वरूपात तितके तपशील नाही).

गणिताच्या एका वेगळ्या शाखेचे प्रतिनिधित्व करताना, ज्यामध्ये प्रपोझिशनल कॅल्क्युलसचा अभ्यास केला जातो, तर्कशास्त्राच्या बीजगणितामध्ये अनेक चांगले-परिभाषित निष्कर्ष आणि निष्कर्ष आहेत.

विषय अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, आम्ही अशा संकल्पनांचे विश्लेषण करू ज्या भविष्यात तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे नियम शिकण्यास मदत करतील.

कदाचित अभ्यासाखालील विषयातील मुख्य पद हे विधान आहे. हे असे विधान आहे जे एकाच वेळी खोटे आणि खरे दोन्ही असू शकत नाही. त्याच्याकडे नेहमीच यापैकी फक्त एक वैशिष्ट्य असते. त्याच वेळी, 1 चे मूल्य सत्याला, 0 ला असत्यतेला देणे आणि विधानालाच काही प्रकारचे A, B, C म्हणणे पारंपारिकपणे स्वीकारले जाते. दुसऱ्या शब्दांत, सूत्र A=1 म्हणजे विधान A आहे. खरे. अभिव्यक्ती विविध प्रकारे हाताळल्या जाऊ शकतात. त्यांच्यासोबत करता येणाऱ्या कृतींचा थोडक्यात विचार करूया. हे देखील लक्षात घ्या की तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे नियम हे नियम जाणून घेतल्याशिवाय प्रभुत्व मिळवू शकत नाहीत.

1. वियोगदोन विधाने - "किंवा" ऑपरेशनचा परिणाम. ते खोटे किंवा खरे असू शकते. "v" हे अक्षर वापरले आहे.

2. संयोग.दोन प्रस्तावांसह केलेल्या अशा क्रियेचा परिणाम, दोन्ही मूळ प्रस्ताव सत्य असल्यासच नवीन असेल. ऑपरेशन "आणि", "^" चिन्ह वापरले आहे.

3. तात्पर्य."जर A, तर B" ऑपरेशन. परिणाम एक विधान आहे जे फक्त A सत्य असेल आणि B असत्य असेल तरच खोटे आहे. "->" चिन्ह वापरले जाते.

4. समतुल्यता.ऑपरेशन "ए जर आणि फक्त जर बी तेव्हा". दोन्ही व्हेरिएबल्सचे मूल्य समान असल्यास हे विधान सत्य आहे. चिन्ह "<->».

निहितार्थाच्या जवळ अनेक ऑपरेशन्स देखील आहेत, परंतु या लेखात त्यांचा विचार केला जाणार नाही.

आता तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे मूलभूत नियम जवळून पाहू:

1. कम्युटेटिव्ह किंवा कम्युटेटिव्ह असे म्हणतात की संयोग किंवा वियोगाच्या ऑपरेशनमध्ये तार्किक संज्ञांची ठिकाणे बदलल्याने परिणामावर परिणाम होत नाही.

2. सहयोगी किंवा सहयोगी. या कायद्यानुसार, संयुक्‍त किंवा विघटनच्‍या कार्यातील चल गटात एकत्र करता येतात.

3. वितरण किंवा वितरण. लॉजिक न बदलता समीकरणांमधील समान व्हेरिएबल्स कंसातून बाहेर काढता येतात हे कायद्याचे सार आहे.

4. डी मॉर्गनचा नियम (उलटा किंवा नकार). संयोगाच्या ऑपरेशनचे नकार मूळ चलांच्या नकाराच्या वियोगासारखे आहे. वियोगाचे नकार, या बदल्यात, समान चलांच्या नकाराच्या संयोगाइतके आहे.

5. दुहेरी नकार. ठराविक विधानाला दोनदा नकार दिल्याने मूळ विधानात तीन वेळा नकार येतो.

6. तार्किक जोडणीसाठी इडम्पोटेन्सीचा नियम असा दिसतो: x v x v x v x = x; गुणाकारासाठी: x^x^x^=x.

7. गैर-विरोधाचा नियम म्हणतो: दोन विधाने, जर ती परस्परविरोधी असतील तर, एकाच वेळी सत्य असू शकत नाहीत.

8. तिसरा वगळण्याचा कायदा. दोन विरोधाभासी विधानांपैकी, एक नेहमी सत्य असते, दुसरे खोटे असते, तिसरे दिले जात नाही.

9. तार्किक जोडणीसाठी शोषणाचा नियम अशा प्रकारे लिहिला जाऊ शकतो: x v (x ^ y) = x, गुणाकारासाठी: x ^ (x v y) = x.

10. ग्लूइंगचा कायदा. दोन समीप संयोग एकत्र चिकटून खालच्या रँकचा संयोग बनवू शकतात. या प्रकरणात, मूळ संयोग ज्या व्हेरिएबलद्वारे चिकटवले गेले होते ते अदृश्य होते. तार्किक जोडण्याचे उदाहरण:

(x^y) v (-x^y)=y.

आम्ही तर्कशास्त्राच्या बीजगणितातील फक्त सर्वात जास्त वापरल्या जाणार्‍या नियमांचा विचार केला आहे, जे खरं तर बरेच काही असू शकतात, कारण बहुतेक वेळा तार्किक समीकरणे दीर्घ आणि अलंकृत स्वरूप धारण करतात, जे अनेक समान कायदे लागू करून कमी केले जाऊ शकतात.

नियमानुसार, मोजणी आणि परिणाम ओळखण्याच्या सोयीसाठी विशेष सारण्या वापरल्या जातात. तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताचे सर्व विद्यमान नियम, सारणी ज्यासाठी ग्रिड आयताची सामान्य रचना आहे, रंगवलेले आहेत, प्रत्येक व्हेरिएबल वेगळ्या सेलमध्ये वितरीत करतात. समीकरण जितके मोठे असेल तितके टेबल वापरून सामोरे जाणे सोपे होईल.

प्रस्तावित बीजगणिताचे नियम

प्रपोझिशन्सचे बीजगणित (तर्कशास्त्राचे बीजगणित) हा गणितीय तर्कशास्त्राचा एक विभाग आहे जो प्रस्तावांवर तार्किक ऑपरेशन्स आणि जटिल प्रस्तावांचे रूपांतर करण्याच्या नियमांचा अभ्यास करतो.

अनेक तार्किक समस्या सोडवताना, त्यांच्या अटींचे औपचारिकीकरण करून प्राप्त केलेली सूत्रे सुलभ करणे आवश्यक असते. प्रपोझिशनच्या बीजगणितातील सूत्रांचे सरलीकरण मूलभूत तार्किक कायद्यांच्या आधारे समतुल्य परिवर्तनांच्या आधारे केले जाते.

प्रस्तावित बीजगणिताचे नियम (तर्कशास्त्राचे बीजगणित) tautologies आहेत.

कधीकधी या नियमांना प्रमेय म्हणतात.

प्रस्तावित बीजगणितामध्ये, तार्किक कायदे समतुल्य सूत्रांची समानता म्हणून व्यक्त केले जातात. कायद्यांमध्ये, ज्यामध्ये एक व्हेरिएबल आहे ते विशेषतः वेगळे केले जातात.

खालीलपैकी पहिले चार कायदे प्रस्तावित बीजगणिताचे मूलभूत नियम आहेत.

ओळख कायदा:

A=A

प्रत्येक संकल्पना आणि निर्णय स्वतः सारखाच असतो.

ओळखीच्या नियमाचा अर्थ असा आहे की तर्क प्रक्रियेत एक विचार दुसर्‍या विचाराने, एक संकल्पना दुसर्‍या संकल्पनेने बदलू शकत नाही. या कायद्याचे उल्लंघन केल्यास, तार्किक त्रुटी शक्य आहेत.

उदाहरणार्थ, तर्क बरोबर म्हणतो की भाषा तुम्हाला कीवमध्ये आणेल, परंतु मी काल एक स्मोक्ड भाषा विकत घेतली, याचा अर्थ असा आहे की आता मी सुरक्षितपणे कीवमध्ये चुकीच्या पद्धतीने जाऊ शकतो, कारण पहिला आणि दुसरा शब्द "भाषा" भिन्न संकल्पना दर्शवितात.

तर्कामध्ये: हालचाल शाश्वत आहे. शाळेत जाणे ही चळवळ आहे. म्हणून, शाळेत जाणे हा शब्द "हालचाल" हा दोन वेगवेगळ्या अर्थाने वापरला जातो (पहिला - तात्विक अर्थाने - पदार्थाचा गुणधर्म म्हणून, दुसरा - सामान्य अर्थाने - अंतराळात जाण्याची क्रिया म्हणून), जे चुकीच्या निष्कर्षाकडे नेतो.

गैर-विरोधाचा कायदा :

त्याच क्षणी, विधान एकतर खरे किंवा खोटे असू शकते, तेथे तिसरे नाही. एकतर A सत्य आहे किंवा नाही A. वगळलेल्या मध्याच्या कायद्याच्या अंमलबजावणीची उदाहरणे:

1. 12345 ही संख्या एकतर सम किंवा विषम आहे, तिसरा दिलेला नाही.

2. कंपनी तोट्यात किंवा तोट्यात चालते.

3. हा द्रव आम्ल असू शकतो किंवा नसू शकतो.

वगळलेल्या मध्याचा कायदा हा सर्व तर्कशास्त्रज्ञांनी तर्कशास्त्राचा सार्वत्रिक कायदा म्हणून ओळखला जाणारा कायदा नाही. हा कायदा लागू होतो जेथे आकलन कठोर परिस्थितीशी संबंधित आहे: "एकतर-किंवा", "खरे-असत्य". जेथे अनिश्चितता आहे (उदाहरणार्थ, भविष्याबद्दल तर्क करताना), वगळलेल्या मध्याचा कायदा अनेकदा लागू केला जाऊ शकत नाही.

खालील विधान विचारात घ्या: हे वाक्य असत्य आहे. ते खरे असू शकत नाही कारण ते खोटे असल्याचा दावा करते. पण ते खोटेही असू शकत नाही, कारण ते खरे असेल. हे विधान सत्य किंवा खोटे नाही आणि म्हणून वगळलेल्या मध्याच्या कायद्याचे उल्लंघन केले आहे.

या उदाहरणातील विरोधाभास (ग्रीक विरोधाभास - अनपेक्षित, विचित्र) हे वाक्य स्वतःला सूचित करते या वस्तुस्थितीतून उद्भवते. आणखी एक सुप्रसिद्ध विरोधाभास म्हणजे नाईची समस्या: एका शहरात, नाई सर्व रहिवाशांचे केस कापतो, जे स्वतःचे केस कापतात त्यांच्याशिवाय. नाईचे केस कोण कापते? तर्कशास्त्रात, त्याच्या औपचारिकतेमुळे, अशा स्व-संदर्भ विधानाचे स्वरूप प्राप्त करणे शक्य नाही. हे पुन्हा एकदा या कल्पनेची पुष्टी करते की तर्कशास्त्राच्या बीजगणिताच्या मदतीने सर्व संभाव्य विचार आणि युक्तिवाद व्यक्त करणे अशक्य आहे. प्रस्तावित समतुल्यतेच्या व्याख्येच्या आधारे, प्रस्तावित बीजगणिताचे उर्वरित नियम कसे मिळवता येतात ते आपण दाखवू.

उदाहरणार्थ, समतुल्य (समतुल्य) A (दुहेरी नकार A, म्हणजे नकार A चे नकार) काय आहे ते ठरवूया. हे करण्यासाठी, आपण सत्य सारणी तयार करू:

समतुल्यतेच्या व्याख्येनुसार, ज्याची मूल्ये स्तंभ A च्या मूल्यांशी जुळतात तो स्तंभ शोधला पाहिजे. हा स्तंभ A असेल.

अशा प्रकारे, आपण दुहेरी नकाराचा नियम तयार करू शकतो:

जर आपण काही विधान दोनदा नाकारले तर त्याचा परिणाम मूळ विधान आहे. उदाहरणार्थ, विधान ए = मॅट्रोस्किन - मांजरए च्या समतुल्य आहे = हे खरे नाही की मॅट्रोस्किन ही मांजर नाही.

त्याचप्रमाणे, खालील कायदे व्युत्पन्न आणि सत्यापित केले जाऊ शकतात:

स्थिर गुणधर्म:

निर्दोषतेचे नियम:

आपण कितीही वेळा पुनरावृत्ती केली तरीही: टीव्ही चालू आहे किंवा टीव्ही सुरू आहे किंवा टीव्ही सुरू आहे... विधानाचा अर्थ बदलणार नाही. त्याचप्रमाणे, पुनरावृत्तीमुळे ते बाहेर उबदार आहे, ते बाहेर उबदार आहे, ... ते एक अंश गरम होणार नाही.

कम्युटेटिव्हिटीचे नियम:

A v B = B v A

A & B = B & A

वियोग आणि संयोगाच्या ऑपरेशन्समधील ऑपरेंड्स A आणि B ची अदलाबदल केली जाऊ शकते.

असोसिएटिव्हिटी कायदे:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

जर अभिव्यक्ती फक्त विच्छेदन ऑपरेशन किंवा फक्त संयोजन ऑपरेशन वापरत असेल, तर तुम्ही कंसांकडे दुर्लक्ष करू शकता किंवा त्यांना अनियंत्रितपणे व्यवस्था करू शकता.

वितरण कायदे:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(वितरणात्मक विघटन
संयोगाबद्दल)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(संयोजनाची वितरणक्षमता
वियोग बद्दल)

वियोगाच्या संदर्भात संयोगाचा वितरणात्मक नियम बीजगणितातील वितरणात्मक कायद्याप्रमाणेच आहे, परंतु संयोगाच्या संदर्भात वितरणात्मक विघटनाच्या कायद्याला कोणतेही अनुरूप नाही, ते केवळ तर्कशास्त्रात वैध आहे. म्हणून, ते सिद्ध करणे आवश्यक आहे. सत्य सारणी वापरून पुरावा सर्वोत्तम केला जातो:

शोषण कायदे:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

अवशोषण कायद्यांचा पुरावा स्वत: पाळावा.

डी मॉर्गनचे कायदे:

डी मॉर्गनच्या नियमांची मौखिक सूत्रे:

मेमोनिक नियम: ओळखीच्या डाव्या बाजूला, नकार क्रिया संपूर्ण विधानाच्या वर आहे. उजव्या बाजूला, तो तुटलेला दिसतो आणि प्रत्येक साध्या विधानाच्या वर नकार उभा राहतो, परंतु त्याच वेळी ऑपरेशन बदलते: वियोग ते संयोग आणि त्याउलट.

डी मॉर्गनच्या कायद्याच्या अंमलबजावणीची उदाहरणे:

1) विधान मला अरबी किंवा चिनी भाषा येते हे सत्य नाही आणि मला अरबी येत नाही आणि मला चिनी भाषा येत नाही या विधानाशी एकरूप आहे.

2) विधान हे सत्य नाही की मी धडा शिकलो आणि मला एक ड्यूस मिळाला कारण ते विधान सारखेच आहे एकतर मी धडा शिकलो नाही किंवा मला त्यासाठी ड्यूस मिळाला नाही.

निहितार्थ आणि समतुल्य ऑपरेशन्सची बदली

इम्प्लिकेशन आणि इक्वॅलन्सची ऑपरेशन्स कधीकधी प्रोग्रामिंग भाषेतील विशिष्ट संगणक किंवा कंपाइलरच्या तार्किक ऑपरेशन्समध्ये नसतात. तथापि, अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी या ऑपरेशन्स आवश्यक आहेत. या ऑपरेशन्सच्या जागी नकार, विच्छेदन आणि संयोजन ऑपरेशन्सच्या अनुक्रमांसह नियम आहेत.

तर, तुम्ही खालील नियमानुसार इम्प्लिकेशन ऑपरेशन बदलू शकता:

समतुल्य ऑपरेशन बदलण्यासाठी दोन नियम आहेत:

दोन्ही ओळखीच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंसाठी सत्य सारणी तयार करून या सूत्रांची वैधता सत्यापित करणे सोपे आहे.

इम्प्लिकेशन आणि इक्वॅलेन्सच्या ऑपरेशन्स बदलण्यासाठीच्या नियमांचे ज्ञान, उदाहरणार्थ, इम्प्लिकेशनचे नकार योग्यरित्या तयार करण्यात मदत करते.

खालील उदाहरणाचा विचार करा.

विधान दिले जाऊ द्या:

ई = मी स्पर्धा जिंकली तर मला बक्षीस मिळेल हे खरे नाही.

द्या अ = मी स्पर्धा जिंकेन,

B = मला बक्षीस मिळेल.

मग

येथून, E = मी स्पर्धा जिंकेन, पण मला बक्षीस मिळणार नाही.

परत