Logikos- mokslas, tiriantis mąstymo dėsnius ir formas; samprotavimo metodų ir įrodinėjimo doktriną.
Pasaulio dėsnius, daiktų esmę, bendrumą juose mokomės per abstraktų mąstymą. Pagrindinės abstraktaus mąstymo formos yra sąvokos, sprendimai ir išvados.
koncepcija- mąstymo forma, atspindinti esmines atskiro objekto ar vienarūšių objektų klasės ypatybes. Kalbos sąvokos išreiškiamos žodžiais.
Sąvokos apimtis- objektų rinkinys, kurių kiekvienas turi atributų, sudarančių sąvokos turinį. Skiriamos bendrosios ir vienaskaitos sąvokos.
Pagal tūrį išskiriami šie sąvokų santykiai:
- tapatybę arba tūrių sutapimas, reiškiantis, kad vienos sąvokos apimtis yra lygi kitos sąvokos tūriui;
- pavaldumas arba tomų įtraukimas: vienos iš sąvokų apimtis visiškai įtraukiama į kitos sąvokos apimtį;
- išimtis tomai – atvejis, kai nėra nė vieno bruožo, kuris būtų dviejuose tomuose;
- sankryža arba dalinis tūrių sutapimas;
- pavaldumas tomai – atvejis, kai dviejų sąvokų, išskiriančių viena kitą, tomai įtraukiami į trečiosios tomą.
Nuosprendis- tai mąstymo forma, kai kažkas tvirtinama arba paneigiama apie daiktus, ženklus ar jų santykius.
išvada- mąstymo forma, per kurią iš vieno ar kelių sprendimų, vadinamų premisomis, pagal tam tikras išvados taisykles gauname sprendimą-išvadą.
Algebra plačiąja to žodžio prasme – mokslas apie bendrąsias operacijas, panašias į sudėtį ir daugybą, kurias galima atlikti ne tik su skaičiais, bet ir su kitais matematiniais objektais.
Algebrų pavyzdžiai: natūraliųjų skaičių algebra, racionaliųjų skaičių algebra, daugianario algebra, vektorių algebra, matricų algebra, aibių algebra ir kt. Logikos algebros arba Būlio algebros objektai yra teiginiai.
pareiškimas- tai bet kurios kalbos sakinys (teiginys), kurio turinys gali būti nustatytas kaip teisingas arba klaidingas.
Kiekvienas teiginys yra teisingas arba klaidingas; negali būti abu vienu metu.
Natūralioje kalboje posakiai išreiškiami deklaratyviais sakiniais. Šauktiniai ir klausiamieji sakiniai nėra teiginiai.
Teiginiai gali būti išreikšti matematiniais, fizikiniais, cheminiais ir kitais ženklais. Iš dviejų skaitinių išraiškų galima daryti teiginius, sujungiant juos lygybės ar nelygybės ženklais.
Pareiškimas vadinamas paprastas(elementarus), jei jokia jo dalis pati savaime nėra teiginys.
Teiginys, sudarytas iš paprastų teiginių, vadinamas sudėtinis(sunku).
Paprasti teiginiai logikos algebroje žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis:
BET= (Aristotelis yra logikos įkūrėjas),
AT= (Bananai auga ant obelų).
Paprastų teiginių tiesos ar klaidingumo pagrindimas sprendžiamas už logikos algebros ribų. Pavyzdžiui, teiginio: „Trikampio kampų suma yra 180 laipsnių“ teisingumą ar klaidingumą nustato geometrija, ir – Euklido geometrijoje šis teiginys yra teisingas, o Lobačevskio – klaidingas.
Teisingas teiginys priskiriamas 1, klaidingas - 0. Taigi, BET = 1, AT = 0.
Logikos algebra yra abstrahuota iš teiginių semantinio turinio. Ją domina tik vienas faktas – pateiktas teiginys yra teisingas arba klaidingas, o tai leidžia algebriniais metodais nustatyti sudėtinių teiginių teisingumą ar klaidingumą.
Pagrindiniai teiginių algebros veiksmai.
Loginis veiksmas KONJUNCIJA(lot. conjunctio – aš įrišu):
- natūralia kalba atitinka jungtuką ir;
- žymėjimas: & ;
- programavimo kalbose žymėjimas yra toks: ir;
- Kitas vardas: loginis dauginimas.
Jungtis yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną du paprastus teiginius su sudėtiniu teiginiu, kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu pirminiai teiginiai yra teisingi.
Jungtinio tiesos lentelė:
| BET | AT | BET&AT |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Loginis veiksmas DISJUNCTION(lot. disjunctio – skiriu):
Disjunkcija yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną du paprastus teiginius su sudėtiniu teiginiu, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu pirminiai teiginiai yra klaidingi ir teisingi, kai bent vienas iš dviejų jį sudarančių teiginių yra teisingas.
Disjunkcijos tiesos lentelė:
| BET | AT | BETAT |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Loginis veiksmas ATVIRKŠTAS(lot. inversio – apversti):
Neigimas yra loginė operacija, susiejanti kiekvieną paprastą teiginį su sudėtiniu teiginiu, kuris susideda iš to, kad pradinis teiginys yra paneigiamas.
Neigiamos tiesos lentelė:
| BET | ne A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Loginio papildymo funkcija ARBA (LogValue1;LogValue2;…) įvertinama kaip TRUE (True) tik tada, kai bent vienas loginis argumentas yra TRUE (1).
Loginio neigimo funkcija NOT(LogValue) įvertinama kaip TRUE (Tiesa), kai loginis argumentas yra FALSE (0), ir, atvirkščiai, reikšmė FALSE (False), kai loginis argumentas yra TRUE (1).
Loginė operacija POVEIKIS(lot. implicatio – aš glaudžiai sieju):
Implikacija yra loginė operacija, kuri kas du paprastus teiginius susieja su sudėtiniu teiginiu, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai sąlyga (pirmas teiginys) yra teisinga, o pasekmė (antrasis teiginys) yra klaidinga.
Poteksčių tiesos lentelė:
| BET | AT | BETAT |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Loginis veiksmas EKVIVALENCIJA(lot. aequivalens – atitikmuo):
- natūralia kalba atitinka kalbos posūkius tada ir tik tada ir Jeigu, ir tik jeigu;
- žymėjimas: ~ ;
- Kitas vardas: lygiavertiškumas.
Ekvivalentiškumas yra loginė operacija, kuri kiekvienam dviem paprastiems teiginiams priskiria sudėtinį teiginį, kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu pirminiai teiginiai yra teisingi arba abu klaidingi.
Ekvivalentiškumo tiesos lentelė:
| BET | AT | BET~AT |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Loginės operacijos turi tokią pirmenybę: veiksmai skliausteliuose, inversija, &, , ~.
Lentelė, rodanti, kokias reikšmes turi sudėtinis teiginys visoms jo paprastų teiginių reikšmių kombinacijoms (rinkiniams), vadinama tiesos lentelė sudėtinis posakis.
Sudėtiniai teiginiai logikos algebroje rašomi naudojant logines išraiškas. Bet kokiai loginei išraiškai pakanka tiesiog sudaryti tiesos lentelę.
Tiesos lentelės sudarymo algoritmas:
- suskaičiuokite kintamųjų skaičių n logine išraiška;
- nustatyti lentelės eilučių skaičių m = 2 n ;
- suskaičiuoti loginių operacijų skaičių formulėje;
- nustatyti loginių operacijų vykdymo seką, atsižvelgiant į skliaustus ir prioritetus;
- nustatyti lentelės stulpelių skaičių: kintamųjų skaičius plius operacijų skaičius;
- išrašykite įvesties kintamųjų rinkinius, atsižvelgdami į tai, kad jie yra natūrali n bitų dvejetainių skaičių nuo 0 iki 2 serija n -1;
- pildyti tiesos lentelę stulpeliais, atliekant loginius veiksmus 4 punkte nustatyta tvarka.
Įvesties kintamųjų rinkinius, siekiant išvengti klaidų, rekomenduojama išvardyti taip:
a) nustatyti įvesties kintamųjų aibių skaičių;
b) pirmojo kintamojo reikšmių stulpelį padalinkite per pusę ir užpildykite viršutinę stulpelio dalį 0, o apatinę -1;
c) padalinkite antrojo kintamojo verčių stulpelį į keturias dalis ir kiekvieną ketvirtį užpildykite kintamomis 0 arba 1 grupėmis, pradedant nuo 0 grupės;
d) toliau dalyti paskesnių kintamųjų verčių stulpelius iš 8, 16 ir kt. dalis ir užpildant jas 0 arba 1 grupėmis, kol grupės 0 ir 1 nebus sudarytos iš vieno simbolio.
Pavyzdys. Formulei A&(B C) sudarykite tiesos lentelę algebriškai ir naudodami skaičiuokles.
Būlio kintamųjų skaičius yra 3, todėl tiesos lentelės eilučių skaičius turi būti 2 3 = 8.
Loginių operacijų skaičius formulėje yra 5, todėl tiesos lentelės stulpelių skaičius turėtų būti 3 + 5 = 8.
| BET | AT | C | ATC | BET & (ATC) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Būlio funkcija iškviesti funkciją F(X 1, X 2, ..., X n), kurio argumentai X 1, X 2, ..., X n(nepriklausomi kintamieji) ir pati funkcija (priklausomas kintamasis) turi reikšmes 0 arba 1.
Lentelė, rodanti, kokias reikšmes loginė funkcija įgauna visoms jos argumentų reikšmių kombinacijoms, vadinama loginės funkcijos tiesos lentele. Loginių funkcijų tiesos lentelė n argumentuose yra 2 n linijos, n argumentų vertės stulpeliai ir 1 funkcijos vertės stulpelis.
Loginės funkcijos gali būti nurodytos lentelės būdu arba analitiškai – atitinkamų formulių pavidalu.
Jei loginė funkcija vaizduojama naudojant disjunkcijas, konjunkcijas ir inversijas, tada ši vaizdavimo forma vadinama normalus.
Yra 16 skirtingų loginių funkcijų iš dviejų kintamųjų.
Būlio išraiškos paskambino lygiavertis, jei jų tiesos reikšmės sutampa su bet kuriomis į juos įtrauktų loginių kintamųjų reikšmėmis.
Logikos algebroje egzistuoja nemažai dėsnių, leidžiančių lygiavertes loginių išraiškų transformacijas. Pateiksime šiuos dėsnius atspindinčius santykius.
- Dvigubo neigimo dėsnis:
ne (ne A) = A.
Dvigubas neigimas neįtraukia neigimo. - Komutacinė (komutacinė) teisė:
- loginiam papildymui:
A B = B A;
A&B=B&A.Operacijos su pareiškimais rezultatas nepriklauso nuo šių teiginių paėmimo tvarkos.
- Asociacinė (asociacinė) teisė:
- loginiam papildymui:
(A B) C = A (B C);Loginiam dauginimui:
(A ir B) ir C = A & (B ir C).Su tais pačiais ženklais skliaustus galima dėti savavališkai arba net praleisti.
- Paskirstymo (paskirstymo) teisė:
- loginiam papildymui:
(A B) ir C = (A ir C) (B ir C);Loginiam dauginimui:
(A ir B) C = (A C) ir (B C).Apibrėžia bendrojo teiginio skliausteliuose taisyklę.
- Bendrosios inversijos dėsnis (de Morgano dėsniai):
- loginiam papildymui:
;Loginiam dauginimui:
. - Idempotencijos dėsnis (iš lotyniškų žodžių idem - tas pats ir potens - stiprus; pažodžiui - lygiavertis):
- loginiam papildymui:
A A = A;Loginiam dauginimui:
A&A=A.Įstatymas reiškia, kad nėra eksponentų.
- Nuolatiniai pašalinimo įstatymai:
- loginiam papildymui:
A1 = 1, A 0 = A;Loginiam dauginimui:
A&1 = A, A&0 = 0. - Prieštaravimo dėsnis:
A & (ne A) = 0.Neįmanoma, kad prieštaringi teiginiai būtų teisingi tuo pačiu metu.
- Trečiojo pašalinimo įstatymas:
A (ne A) = 1.Iš dviejų prieštaringų teiginių apie tą patį dalyką vienas visada yra teisingas, o antrasis yra klaidingas, trečiasis nepateikiamas.
- Absorbcijos dėsnis:
- loginiam papildymui:
A(A&B)=A;Loginiam dauginimui:
A ir (A B) = A. - Išskyrimo (klijavimo) dėsnis:
- loginiam papildymui:
(A ir B) (& B) = B;Loginiam dauginimui:
(A B) ir (B) = B. - Priešpriešos dėsnis (atvirkštinė taisyklė):
(AB) = (BA).Pirmiau minėtų dėsnių pagrįstumą galima įrodyti lentelės būdu: surašykite visas reikšmių A ir B aibes, apskaičiuokite jose įrodinėjamos išraiškos kairiosios ir dešiniosios dalių reikšmes ir įsitikinkite, kad gauti stulpeliai sutampa.
Pavyzdys. Supaprastinkite loginę išraišką:
- Efimova O., Morozov V., Ugrinovich N. Kompiuterinės technologijos su informatikos pagrindais kursas. Vadovėlis vyresnėms klasėms. - M.: UAB "AST leidykla"; ABF, 2000 m
- Informatikos užduočių sąsiuvinis-seminaras. 2 tomais / Red. I.Semakina, E.Khenner. - M.: Pagrindinių žinių laboratorija, 2001 m
- Ugrinovičius N. Informatika ir informacinės technologijos. 10-11 klasė - M .: Pagrindinių žinių laboratorija, UAB "Maskvos vadovėliai", 2001 m.
Užduotys ir testai tema „Formaliosios logikos pagrindai“
- Prisijunkite prie DBMS logikos - Loginiai ir matematiniai modeliai 10 klasė
Pamokos: 5 Užduotys: 9 Viktorinos: 1
- Loginių uždavinių sprendimas matematinės logikos pagalba
Pamokos: 4 Užduotys: 6 Testai: 1
Gerbiamas studentas!
1 darbe pateikiamos trys temos, kurios sudaro kurso „Informacinės technologijos“ pagrindą. Tikimės, kad jau turite minimalią patirtį dirbant su kompiuteriu ir susipažinote su jo įrenginiu vidurinėje mokykloje.
Tema "Kompiuteriniai ryšiai. Internetas" pastaruoju metu kelia didelį susidomėjimą, daugelis jaunuolių beveik visą savo laisvalaikį praleidžia pasauliniame tinkle. Noriu priminti, kad interneto įvaldymas reiškia ne tik galimybę „naršyti“ tinkle ir karts nuo karto apsilankyti įdomiuose „pokalbiuose“, bet ir suprasti informacijos organizavimo pasauliniame tinkle principus, suprasti jo struktūrą, protokolus, mokėti konfigūruoti naršyklę ir elektroninio pašto programas, išmanyti ir laikytis darbo internete etikos ir, žinoma, naudoti tinklą svarbiausiai jo paskirčiai – akiračio plitimui.
Šiame kurse nenagrinėjome interneto svetainių kūrimo technologijos, manydami, kad minimalias žinias interneto pagrindiniam puslapiui sukurti galima pasisemti iš papildomos literatūros. Kuriant svetaines profesionaliu lygiu, reikia tam tikro mokymo, kuris grindžiamas darbo su tekstu ir grafika įgūdžiais, taip pat gebėjimu programuoti.
Tema „Logika“ dažniausiai sukelia tam tikrą sumaištį tarp studentų, ne visi supranta šios temos studijavimo svarbą. Noriu pastebėti, kad logikos žinios yra svarbios ne tik kaip pagrindas tolesniam programavimo kalbų ir darbo su duomenų bazėmis principų studijoms, bet ir kaip „simuliatorius“ ugdant specialų mąstymo tipą. Asmuo, kuris puikiai mokosi logikos, turi didžiulių pranašumų bendraujant. Labai glostau išgirsti jūsų kreipimesi: „Tai logiška“, „Jūsų samprotavimuose yra logikos“.
Informatikos pamoka skirta bendrojo lavinimo mokyklos 10 klasės mokiniams, kurios mokymo programoje yra skyrius „Logikos algebra“. Ši tema yra labai sunki mokiniams, todėl aš, kaip mokytojas, norėjau juos sudominti logikos dėsnių studijomis, loginių posakių supaprastinimu ir loginių problemų sprendimo ėjimu su susidomėjimu. Įprasta forma vesti pamokas šia tema yra varginantis ir varginantis, o kai kurie apibrėžimai vaikams ne visada aiškūs. Dėl informacinės erdvės suteikimo turėjau galimybę savo pamokas paskelbti „mokymosi“ apvalkale. Mokiniai, užsiregistravę jame, gali laisvalaikiu lankyti šį kursą ir perskaityti tai, kas nebuvo aišku pamokoje. Kai kurie mokiniai, praleidę pamokas dėl ligos, kompensuoja praleistą temą namuose ar mokykloje ir visada pasiruošę kitai pamokai. Tokia mokymo forma daugeliui vaikų labai tiko, o tuos dėsnius, kurie jiems buvo nesuprantami, dabar daug lengviau ir greičiau išmokstama kompiuterine forma. Siūlau vieną iš šių informatikos pamokų, kurios vyksta integruotai su IKT.
Pamokos planas
- Naujos medžiagos paaiškinimas, naudojant kompiuterį – 25 min.
- Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai, išdėstyti „mokymuose“ – 10 min.
- Medžiaga smalsuoliams – 5 min.
- Namų darbai – 5 min.
1. Naujos medžiagos paaiškinimas
Formaliosios logikos dėsniai
Paprasčiausi ir reikalingiausi tikrieji minčių ryšiai išreiškiami pagrindiniais formaliosios logikos dėsniais. Tai tapatumo, neprieštaravimo, pašalinto vidurio, pakankamo proto dėsniai.
Šie dėsniai yra esminiai, nes logikoje jie atlieka ypač svarbų vaidmenį, yra bendriausi. Jie leidžia supaprastinti logines išraiškas ir sudaryti išvadas bei įrodymus. Pirmuosius tris iš minėtų dėsnių nustatė ir suformulavo Aristotelis, o pakankamo proto dėsnį – G. Leibnicas.
Tapatybės dėsnis: tam tikro samprotavimo procese kiekviena sąvoka ir sprendimas turi būti tapatūs sau.
Neprieštaravimo dėsnis: neįmanoma, kad viena ir ta pati akis tuo pačiu metu būtų ir nebūtų būdinga tam pačiam dalykui tuo pačiu atžvilgiu. Tai yra, neįmanoma kažką tvirtinti ir neigti vienu metu.
Išskirtinio vidurio dėsnis: iš dviejų prieštaraujančių teiginių vienas yra teisingas, kitas klaidingas, o trečias nepateiktas.
Pakankamo proto dėsnis: kiekviena tikra mintis turi būti pakankamai pagrįsta.
Paskutinis dėsnis sako, kad kažko įrodymas suponuoja tiksliai ir tik tikrų minčių pateisinimą. Klaidingų minčių neįmanoma įrodyti. Yra gera lotyniška patarlė: „Klysti yra įprasta kiekvienam žmogui, bet tik kvailys yra reikalauti klysti“. Šio įstatymo formulės nėra, nes jis turi tik esminį pobūdį. Tikri sprendimai, faktinė medžiaga, statistiniai duomenys, mokslo dėsniai, aksiomos, įrodytos teoremos gali būti naudojami kaip argumentai, patvirtinantys tikrą mintį.
Teiginių algebros dėsniai
Teiginių algebra (logikos algebra) yra matematinės logikos skyrius, nagrinėjantis teiginių logines operacijas ir sudėtingų teiginių transformavimo taisykles.
Sprendžiant daugelį loginių uždavinių, dažnai tenka supaprastinti gautas formules įforminant jų sąlygas. Formulių supaprastinimas teiginių algebroje atliekamas remiantis ekvivalentinėmis transformacijomis, pagrįstomis pagrindiniais loginiais dėsniais.
Teiginių algebros dėsniai (logikos algebra) yra tautologijos.
Kartais šie dėsniai vadinami teoremomis.
Teiginių algebroje loginiai dėsniai išreiškiami kaip ekvivalentinių formulių lygybė. Tarp įstatymų ypač išsiskiria tie, kuriuose yra vienas kintamasis.
Pirmieji keturi iš šių dėsnių yra pagrindiniai teiginių algebros dėsniai.
Tapatybės įstatymas:
Kiekviena sąvoka ir sprendimas yra identiški sau.
Tapatybės dėsnis reiškia, kad samprotavimo procese negalima pakeisti vienos minties kita, vienos sąvokos kita. Jei šis įstatymas pažeidžiamas, galimos loginės klaidos.
Pavyzdžiui, diskusija Teisingai sako, kad liežuvis atves tave į Kijevą, bet vakar nusipirkau rūkyto liežuvio, vadinasi, dabar galiu saugiai vykti į Kijevą neteisinga, nes pirmasis ir antrasis žodžiai „kalba“ reiškia skirtingas sąvokas.
Diskusijoje: Judėjimas yra amžinas. Eiti į mokyklą yra judėjimas. Todėl ėjimas į mokyklą yra amžinasžodis „judėjimas“ vartojamas dviem skirtingomis prasmėmis (pirmoji – filosofine – kaip materijos atributas, antroji – įprasta prasme – kaip veiksmas judėti erdvėje), dėl ko daroma klaidinga išvada.
Neprieštaravimo dėsnis:
Teiginys ir jo neigimas negali būti teisingi vienu metu. Tai yra, jei pareiškimas BET yra tiesa, tada jos neigimas ne A turi būti klaidingas (ir atvirkščiai). Tada jų produktas visada bus netikras.
Būtent ši lygybė dažnai naudojama supaprastinant sudėtingas logines išraiškas.
Kartais šis dėsnis formuluojamas taip: du vienas kitam prieštaraujantys teiginiai negali vienu metu būti teisingi. Neprieštaravimo įstatymo nesilaikymo pavyzdžiai:
1. Marse gyvybė yra, o Marse gyvybės nėra.
2. Olya baigė vidurinę mokyklą ir mokosi 10 klasėje.
Išskirtinio vidurio dėsnis:
Tuo pačiu laiko momentu teiginys gali būti teisingas arba klaidingas, trečiojo nėra. Tiesa irgi BET, arba ne A. Išskirtinio vidurio įstatymo įgyvendinimo pavyzdžiai:
1. Skaičius 12345 yra lyginis arba nelyginis, trečiojo nėra.
2. Įmonė dirba nuostolingai arba nuostolingai.
3. Šis skystis gali būti rūgštis arba ne.
Išskirtojo vidurio dėsnis nėra dėsnis, kurį visi logikai pripažįsta universaliu logikos dėsniu. Šis dėsnis taikomas ten, kur žinios yra susijusios su griežta situacija: „arba – arba“, „tiesa-klaidinga“. Ten, kur yra neapibrėžtumas (pavyzdžiui, samprotaujant apie ateitį), išskiriamo vidurio dėsnis dažnai negali būti taikomas.
Apsvarstykite šį teiginį: Šis pasiūlymas yra klaidingas. Tai negali būti tiesa, nes teigia esanti klaidinga. Bet tai taip pat negali būti klaidinga, nes tada ji būtų tiesa. Šis teiginys nėra nei teisingas, nei klaidingas, todėl pažeidžiamas išskiriamo vidurio dėsnis.
Paradoksas(gr. paradoxos – netikėtas, keistas) šiame pavyzdyje kyla iš to, kad sakinys nurodo į save patį. Kitas garsus paradoksas yra kirpėjo problema: Viename mieste kirpėja kerpa plaukus visiems gyventojams, išskyrus tuos, kurie nusikerpa patys. Kas kerpa kirpėjo plaukus? Pagal logiką dėl jos formalumo neįmanoma gauti tokio savireferencinio teiginio formos. Tai dar kartą patvirtina mintį, kad logikos algebros pagalba neįmanoma išreikšti visų įmanomų minčių ir argumentų. Parodykime, kaip, remiantis teiginio ekvivalentiškumo apibrėžimu, galima gauti likusius teiginio algebros dėsnius.
Pavyzdžiui, apibrėžkime, kas yra lygiavertė (atitinka) BET(du kartus ne BET, y. neigimo neigimas BET). Norėdami tai padaryti, sudarysime tiesos lentelę:
Pagal lygiavertiškumo apibrėžimą turime rasti stulpelį, kurio reikšmės sutampa su stulpelio reikšmėmis BET. Tai bus stulpelis BET.
Taigi galime suformuluoti dvigubas įstatymasneigimai:
Jei kurį nors teiginį paneigiame du kartus, rezultatas yra pradinis teiginys. Pavyzdžiui, pareiškimas BET= Matroskinas- katė yra tolygus sakymui A = Netiesa, kad Matroskinas nėra katė.
Panašiai galima išvesti ir patikrinti šiuos dėsnius:
Nuolatinės savybės:
Idempotencijos dėsniai:
Nesvarbu, kiek kartų kartosime: Televizorius įjungtas arba televizorius įjungtas, arba televizorius įjungtas... sakinio prasmė nepasikeis. Taip pat nuo pasikartojimo Lauke šilta, lauke šilta... ne vienu laipsniu šilčiau.
Komutatyvumo dėsniai:
A v B = B prieš A
A ir B = B ir A
operandų BET ir AT disjunkcijos ir konjunkcijos operacijose gali būti sukeisti.
Asociatyvumo dėsniai:
A v(B v C) = (A v B) v C;
A ir (B ir C) = (A ir B) ir C.
Jei išraiškoje naudojama tik atskyrimo operacija arba tik sujungimo operacija, galite nepaisyti skliaustų arba juos išdėstyti savavališkai.
Paskirstymo dėsniai:
A v (B ir C) = (A v B) & (A prieš C)
(paskirstymo disjunkcija
dėl jungties)
A & (B prieš C) = (A ir B) v (A ir C)
(jungtuko pasiskirstymas
dėl disjunkcijos)
Distributyvinis konjunkcijos dėsnis disjunkcijos atžvilgiu yra panašus į paskirstymo dėsnį algebroje, tačiau skirstomojo disjunkcijos dėsnis konjunkcijos atžvilgiu neturi analogo, jis galioja tik logikoje. Todėl tai reikia įrodyti. Įrodymą geriausia atlikti naudojant tiesos lentelę:
Absorbcijos dėsniai:
A v (A ir B) = A
A & (A v B) = A
Įsisavinimo dėsnius patikrinkite patys.
De Morgano dėsniai:
Žodinės de Morgano dėsnių formuluotės:
Mnemoninė taisyklė: kairėje tapatybės pusėje neigimo operacija stovi aukščiau viso teiginio. Dešinėje pusėje jis tarsi sulaužytas ir neigimas stovi virš kiekvieno paprasto teiginio, tačiau tuo pačiu keičiasi operacija: disjunkcija į konjunkciją ir atvirkščiai.
De Morgano dėsnio įgyvendinimo pavyzdžiai:
1) pareiškimas Netiesa, kad moku arabų ar kinų kalbas yra identiškas teiginiui Aš nemoku arabų ir nemoku kinų kalbos.
2) pareiškimas Netiesa, kad išmokau pamoką ir gavau D yra identiškas teiginiui Arba aš neišmokau pamokos, arba negavau A.
Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijų pakeitimas
Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijos kartais nėra tarp loginių konkretaus kompiuterio ar kompiliatoriaus operacijų iš programavimo kalbos. Tačiau šios operacijos būtinos daugeliui problemų išspręsti. Yra taisyklės, kaip šias operacijas pakeisti neigimo, disjunkcijos ir konjunkcijos operacijų sekomis.
Taigi, pakeiskite operaciją pasekmės galima pagal šią taisyklę:
Norėdami pakeisti operaciją lygiavertiškumas yra dvi taisyklės:
Šių formulių pagrįstumą lengva patikrinti sudarant tiesos lenteles abiejų tapatybių dešinėje ir kairėje pusėje.
Implikacijos ir ekvivalentiškumo operacijų pakeitimo taisyklių žinojimas padeda, pavyzdžiui, teisingai sukonstruoti implikacijos neigimą.
Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.
Tegu teiginys:
E = Netiesa, kad jei laimėsiu konkursą, gausiu prizą.
Leisti BET= Aš laimėsiu konkursą
B = Aš gausiu prizą.
Vadinasi, E = konkursą laimėsiu, bet prizo negausiu.
Taip pat domina šios taisyklės:
Taip pat galite įrodyti jų pagrįstumą naudodami tiesos lenteles.
Įdomi jų raiška natūralia kalba.
Pavyzdžiui, frazė
Jei Mikė Pūkuotukas valgė medų, vadinasi, jis sotus
yra identiškas frazei
Jei Mikė Pūkuotukas nėra sotus, jis nevalgė medaus.
Pratimas: Pagalvokite apie šių taisyklių pavyzdžius.
2. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai 1 priede
3. Medžiaga smalsiems 2 priede
4. Namų darbai
1) Išmokite logikos dėsnius naudodamiesi informacinėje erdvėje esančiu kursu „Algebra of Logic“ (www.learning.9151394.ru).
2) Patikrinkite De Morgano dėsnių įrodymą kompiuteryje, sudarydami tiesos lentelę.
Programos
- Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai (
§ ketvirta. Logikos algebros ekvivalentinės, TI ir TL formulės. Pagrindiniai atitikmenys. (Loginių operacijų dėsniai). Dvilypumo dėsnis.
Apibrėžimas.
Dvi logikos A ir B algebros formulės vadinamos EKVIVALENTĖS, jei jos turi tas pačias logines reikšmes bet kuriame į formules įtrauktų elementarių teiginių rinkinyje. Formulių lygiavertiškumas bus pažymėtas ženklu º, o žymėjimas A ºB reiškia, kad formulės A ir B yra lygiavertės.
Formulė A vadinama identiškai TEISINGA (arba TAUTOLOGIJA), jei ji turi reikšmę 1 visoms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms.
Formulė vadinama identiškai klaidinga (arba prieštaraujančia), jei ji įgauna 0 reikšmę visoms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms.
Tarp lygiavertiškumo ir lygiavertiškumo sąvokų yra toks ryšys: jei formulės A ir B yra lygiavertės, tai formulė A"B yra tautologija, ir atvirkščiai, jei formulė A"B yra tautologija, tai formulės A ir B yra lygiaverčiai.
Svarbiausius logikos algebros atitikmenis galima suskirstyti į tris grupes.
1. Pagrindiniai atitikmenys.
Idempotencijos dėsniai.
Prieštaravimo dėsnis
Išskirtojo vidurio dėsnis
dvigubas neigiamas dėsnis
absorbcijos dėsniai
2. Ekvivalencijos, išreiškiančios kai kurias logines operacijas kitomis.
Čia 3, 4, 5, 6 yra Morgano dėsniai.
Aišku, kad 5 ir 6 ekvivalentai gaunami atitinkamai iš 3 ir 4 ekvivalentų, jei paimsime neiginius iš abiejų pastarųjų dalių ir pasinaudosime dvigubų neigimų pašalinimo dėsniu.
Taigi pirmąsias keturias atitikmenis reikia įrodyti. Įrodykime vieną iš jų: pirmąjį.
Kadangi toms pačioms x ir y loginėms reikšmėms formulės yra teisingos https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Todėl šiuo atveju abi lygiavertės dalys turi tą pačią tikrąją vertę.
Tegu dabar x ir y turi skirtingas logines reikšmes. Tada lygiavertiškumas ir vienas iš dviejų implikacijų arba bus klaidingi. Tačiau tuo pat metu jungtukas taip pat bus klaidingas. 
.
Taigi šiuo atveju abi lygiavertiškumo dalys turi tą pačią loginę reikšmę.
2 ir 4 atitikmenys įrodomi panašiai.
Iš šios grupės atitikmenų išplaukia, kad bet kurią logikos algebros formulę galima pakeisti jai ekvivalentiška formule, turinčia tik dvi logines operacijas: konjunkciją ir neigimą arba disjunkciją ir neigimą.
Tolesnis loginių operacijų atmetimas neįmanomas. Taigi, jei naudosime tik konjunkciją, tai tokios formulės kaip neigimas negali būti išreikšta naudojant jungtuko operaciją.
Tačiau yra operacijų, kuriomis galima išreikšti bet kurią iš penkių mūsų naudojamų loginių operacijų. Tokia operacija yra, pavyzdžiui, operacija „Schaefferio insultas“. Ši operacija žymima simboliu ½ left " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">
Šiuolaikiniai kompiuteriai, pagrįsti „senoviniais“ elektroniniais kompiuteriais, yra pagrįsti tam tikrais postulatais kaip pagrindiniais veikimo principais. Jie vadinami logikos algebros dėsniais. Pirmą kartą tokią discipliną (žinoma, ne taip išsamiai, kaip šiuolaikine forma) aprašė senovės graikų mokslininkas Aristotelis.
Atstovaujanti atskirai matematikos šakai, kurioje tiriamas teiginių skaičiavimas, logikos algebra turi nemažai aiškiai apibrėžtų išvadų ir išvadų.
Siekdami geriau suprasti temą, panagrinėsime sąvokas, kurios ateityje padės išmokti logikos algebros dėsnius.
Galbūt pagrindinis tiriamos disciplinos terminas yra teiginys. Tai teiginys, kuris vienu metu negali būti ir klaidingas, ir teisingas. Jis visada turi tik vieną iš šių savybių. Tuo pat metu sutartinai priimta tiesai suteikti reikšmę 1, klaidingumui – 0, o patį teiginį vadinti kokiu nors A, B, C. Kitaip tariant, formulė A=1 reiškia, kad teiginys A yra tiesa. Išraiškas galima tvarkyti įvairiais būdais. Trumpai apsvarstykime veiksmus, kuriuos su jais galima atlikti. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad logikos algebros dėsnių neįmanoma įvaldyti nežinant šių taisyklių.
1. Disjunkcija du teiginiai – operacijos „arba“ rezultatas. Tai gali būti klaidinga arba tiesa. Naudojamas simbolis „v“.
2. Jungtis. Tokio veiksmo, atliekamo dviem teiginiais, rezultatas bus naujas tik tuo atveju, jei abu pirminiai teiginiai yra teisingi. Naudojama operacija "ir", simbolis "^".
3. Potekstė. Operacija „Jei A, tai B“. Rezultatas yra teiginys, kuris yra klaidingas tik tuo atveju, jei A yra teisingas, o B yra klaidingas. Naudojamas simbolis „->“.
4. Lygiavertiškumas. Operacija „A tada ir tik tada, kai B kada“. Šis teiginys yra teisingas, jei abu kintamieji turi tą pačią reikšmę. Simbolis "<->».
Taip pat yra keletas operacijų, kurios gali būti labai svarbios, tačiau šiame straipsnyje jos nebus nagrinėjamos.
Dabar atidžiau pažvelkime į pagrindinius logikos algebros dėsnius:
1. Komutacinės arba komutacinės teigia, kad loginių terminų vietų keitimas konjunkcijos ar disjunkcijos operacijose neturi įtakos rezultatui.
2. Asociatyvinis arba asociatyvinis. Pagal šį dėsnį konjunkcijos ar disjunkcijos operacijų kintamieji gali būti jungiami į grupes.
3. Platinimas arba platinimas. Įstatymo esmė ta, kad tuos pačius kintamuosius lygtyse galima ištraukti iš skliaustų, nekeičiant logikos.
4. De Morgano dėsnis (inversija arba neigimas). Konjunkcijos operacijos neigimas yra tolygus pradinių kintamųjų neigimo disjunkcijai. Disjunkcijos neigimas savo ruožtu yra lygus tų pačių kintamųjų neigimo konjunkcijai.
5. Dvigubas neigimas. Tam tikro teiginio neigimas du kartus lemia pradinį teiginį, tris kartus – jo neigimą.
6. Idempotencijos dėsnis loginiam sudėjimui atrodo taip: x v x v x v x = x; daugybai: x^x^x^=x.
7. Neprieštaravimo dėsnis sako: du teiginiai, jeigu jie prieštarauja, negali būti teisingi vienu metu.
8. Trečiojo išskyrimo dėsnis. Tarp dviejų prieštaraujančių teiginių vienas visada teisingas, kitas klaidingas, trečias nepateiktas.
9. Sugerties dėsnį galima parašyti taip loginiam sudėjimui: x v (x ^ y) = x, daugybai: x ^ (x v y) = x.
10. Klijavimo dėsnis. Du gretimi jungtukai gali sulipti ir sudaryti žemesnio rango jungtuką. Tokiu atveju išnyksta kintamasis, kuriuo buvo klijuojami pirminiai jungtukai. Loginio papildymo pavyzdys:
(x^y) v (-x^y)=y.
Mes išnagrinėjome tik dažniausiai naudojamus logikos algebros dėsnius, kurių iš tikrųjų gali būti daug daugiau, nes dažnai loginės lygtys įgauna ilgą ir puošnią formą, kurią galima sumažinti taikant daugybę panašių dėsnių.
Paprastai specialios lentelės naudojamos rezultatų skaičiavimo ir identifikavimo patogumui. Visi esami logikos algebros dėsniai, kurių lentelė turi bendrą tinklelio stačiakampio struktūrą, yra nudažyti, paskirstant kiekvieną kintamąjį į atskirą langelį. Kuo didesnė lygtis, tuo lengviau susidoroti su lentelėmis.
Teiginių algebros dėsniai
Teiginių algebra (logikos algebra) yra matematinės logikos skyrius, nagrinėjantis teiginių logines operacijas ir sudėtingų teiginių transformavimo taisykles.
Sprendžiant daugelį loginių uždavinių, dažnai tenka supaprastinti gautas formules įforminant jų sąlygas. Formulių supaprastinimas teiginių algebroje atliekamas remiantis ekvivalentinėmis transformacijomis, pagrįstomis pagrindiniais loginiais dėsniais.
Teiginių algebros dėsniai (logikos algebra) yra tautologijos.
Kartais šie dėsniai vadinami teoremomis.
Teiginių algebroje loginiai dėsniai išreiškiami kaip ekvivalentinių formulių lygybė. Tarp įstatymų ypač išsiskiria tie, kuriuose yra vienas kintamasis.
Pirmieji keturi iš šių dėsnių yra pagrindiniai teiginių algebros dėsniai.
Tapatybės įstatymas:
A=A
Kiekviena sąvoka ir sprendimas yra identiški sau.
Tapatybės dėsnis reiškia, kad samprotavimo procese negalima pakeisti vienos minties kita, vienos sąvokos kita. Jei šis įstatymas pažeidžiamas, galimos loginės klaidos.
Pavyzdžiui, samprotavimas Teisingai sako, kad kalba atves jus į Kijevą, bet aš vakar nusipirkau rūkytą kalbą, vadinasi, dabar galiu saugiai nuvykti į Kijevą neteisingai, nes pirmasis ir antrasis žodžiai „kalba“ reiškia skirtingas sąvokas.
Mąstydami: judėjimas yra amžinas. Eiti į mokyklą yra judėjimas. Todėl amžinai einant į mokyklą žodis „judėjimas“ vartojamas dviem skirtingomis prasmėmis (pirmoji – filosofine – kaip materijos atributas, antroji – įprasta prasme – kaip veiksmas judėti erdvėje). veda prie klaidingos išvados.
Neprieštaravimo dėsnis :
Tuo pačiu laiko momentu teiginys gali būti teisingas arba klaidingas, trečiojo nėra. Arba A teisinga, arba ne A. Išskiriamo vidurio dėsnio įgyvendinimo pavyzdžiai:
1. Skaičius 12345 yra lyginis arba nelyginis, trečiasis nenurodytas.
2. Įmonė dirba nuostolingai arba nuostolingai.
3. Šis skystis gali būti rūgštis arba ne.
Išskirtojo vidurio dėsnis nėra dėsnis, kurį visi logikai pripažįsta universaliu logikos dėsniu. Šis dėsnis galioja tada, kai pažinimas nagrinėja griežtą situaciją: „arba-arba“, „tiesa-klaidinga“. Ten, kur yra neapibrėžtumas (pavyzdžiui, samprotaujant apie ateitį), išskiriamo vidurio dėsnis dažnai negali būti taikomas.
Apsvarstykite šį teiginį: Šis sakinys yra klaidingas. Tai negali būti tiesa, nes teigia esanti klaidinga. Bet tai taip pat negali būti klaidinga, nes tada ji būtų tiesa. Šis teiginys nėra nei teisingas, nei klaidingas, todėl pažeidžiamas išskiriamo vidurio dėsnis.
Paradoksas (gr. paradoxos – netikėtas, keistas) šiame pavyzdyje kyla dėl to, kad sakinys nurodo į save patį. Kitas gerai žinomas paradoksas – kirpyklos problema: viename mieste kirpėjas kerpa plaukus visiems gyventojams, išskyrus tuos, kurie nusikerpa patys. Kas kerpa kirpėjo plaukus? Pagal logiką dėl jos formalumo neįmanoma gauti tokio savireferencinio teiginio formos. Tai dar kartą patvirtina mintį, kad logikos algebros pagalba neįmanoma išreikšti visų įmanomų minčių ir argumentų. Parodykime, kaip, remiantis teiginio ekvivalentiškumo apibrėžimu, galima gauti likusius teiginio algebros dėsnius.
Pavyzdžiui, nustatykime, kas yra ekvivalentas (ekvivalentas) A (dvigubas neigimas A, t. y. neigimo A neigimas). Norėdami tai padaryti, sudarysime tiesos lentelę:
Pagal lygiavertiškumo apibrėžimą turime rasti stulpelį, kurio reikšmės atitinka A stulpelio reikšmes. Tai bus A stulpelis.
Taigi galime suformuluoti dvigubo neigimo dėsnį:
Jei kurį nors teiginį paneigiame du kartus, rezultatas yra pradinis teiginys. Pavyzdžiui, pareiškimas A = Matroskin - katė yra lygiavertis A = Netiesa, kad Matroskinas nėra katė.
Panašiai galima išvesti ir patikrinti šiuos dėsnius:
Nuolatinės savybės:
Idempotencijos dėsniai:
Kad ir kiek kartų kartotume: televizorius įjungtas arba televizorius įjungtas, ar televizorius įjungtas... teiginio prasmė nepasikeis. Lygiai taip pat nuo kartojimosi šilta lauke, šilta lauke, ... šilčiau netaps vienu laipsniu.
Komutatyvumo dėsniai:
A v B = B prieš A
A ir B = B ir A
Operandai A ir B disjunkcijos ir konjunkcijos operacijose gali būti sukeisti.
Asociatyvumo dėsniai:
A v(B v C) = (A v B) v C;
A ir (B ir C) = (A ir B) ir C.
Jei išraiškoje naudojama tik atskyrimo operacija arba tik sujungimo operacija, galite nepaisyti skliaustų arba juos išdėstyti savavališkai.
Paskirstymo dėsniai:
A v (B ir C) = (A v B) & (A prieš C)
(paskirstymo disjunkcija
dėl jungties)
A & (B prieš C) = (A ir B) v (A ir C)
(jungtuko pasiskirstymas
dėl disjunkcijos)
Distributyvinis konjunkcijos dėsnis disjunkcijos atžvilgiu yra panašus į paskirstymo dėsnį algebroje, tačiau skirstomojo disjunkcijos dėsnis konjunkcijos atžvilgiu neturi analogo, jis galioja tik logikoje. Todėl tai reikia įrodyti. Įrodymą geriausia atlikti naudojant tiesos lentelę:
Absorbcijos dėsniai:
A v (A ir B) = A
A & (A v B) = A
Įsisavinimo dėsnius patikrinkite patys.
De Morgano dėsniai:
Žodinės de Morgano dėsnių formuluotės:
Mnemoninė taisyklė: kairėje tapatybės pusėje neigimo operacija yra virš viso teiginio. Dešinėje pusėje jis tarsi sulaužytas ir neigimas stovi virš kiekvieno paprasto teiginio, tačiau tuo pačiu keičiasi operacija: disjunkcija į konjunkciją ir atvirkščiai.
De Morgano dėsnio įgyvendinimo pavyzdžiai:
1) Teiginys Netiesa, kad aš moku arabų arba kinų kalbą, yra identiškas teiginiui Nemoku arabų ir nemoku kinų.
2) Teiginys Netiesa, kad aš išmokau pamoką ir už ją gavau dvikovą, yra identiškas teiginiui Arba aš neišmokau pamokos, arba už tai negavau dvikovos.
Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijų pakeitimas
Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijos kartais nėra tarp loginių konkretaus kompiuterio ar kompiliatoriaus operacijų iš programavimo kalbos. Tačiau šios operacijos būtinos daugeliui problemų išspręsti. Yra taisyklės, kaip šias operacijas pakeisti neigimo, disjunkcijos ir konjunkcijos operacijų sekomis.
Taigi, galite pakeisti implikacijos operaciją pagal šią taisyklę:
Yra dvi lygiavertiškumo operacijos pakeitimo taisyklės:
Šių formulių pagrįstumą lengva patikrinti sudarant tiesos lenteles abiejų tapatybių dešinėje ir kairėje pusėje.
Implikacijos ir ekvivalentiškumo operacijų pakeitimo taisyklių žinojimas padeda, pavyzdžiui, teisingai sukonstruoti implikacijos neigimą.
Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.
Tegu teiginys:
E = Netiesa, kad jei laimėsiu konkursą, gausiu prizą.
Leisti A = Aš laimėsiu konkursą,
B = Aš gausiu prizą.
Tada
Iš čia, E = konkursą laimėsiu, bet prizo negausiu.