A logikai algebra ekvivalens, TI és TL képlete. Alapvető egyenértékűségek. (A logikai műveletek törvényei). A kettősség törvénye. Az egyes elemek logikai algebrai törvénye

Logikák- a gondolkodás törvényszerűségeit és formáit vizsgáló tudomány; az érvelés és a bizonyítás módszereinek doktrínája.

A világ törvényeit, a tárgyak lényegét, a bennük való közöset az elvont gondolkodáson keresztül tanuljuk meg. Az absztrakt gondolkodás fő formái a fogalmak, az ítéletek és a következtetések.

koncepció- olyan gondolkodási forma, amely egy egyedi tárgy vagy homogén tárgyak osztályának lényeges jellemzőit tükrözi. A nyelvben lévő fogalmak szavakban fejeződnek ki.

A fogalom terjedelme- objektumok halmaza, amelyek mindegyike rendelkezik a fogalom tartalmát alkotó attribútumokkal. Megkülönböztetik az általános és az egyes fogalmakat.

A következő fogalomviszonyokat különböztetjük meg térfogat szerint:

identitás vagy a kötetek egybeesése, ami azt jelenti, hogy egy fogalom térfogata megegyezik egy másik fogalom térfogatával;
alárendeltség vagy kötetek beszámítása: az egyik fogalom kötete teljes mértékben beletartozik a másik kötetébe;
kivétel kötetek - olyan eset, amelyben nincs egyetlen olyan funkció sem, amely két kötetben lenne;
útkereszteződés vagy a kötetek részleges egybeesése;
alárendeltség kötetek - az az eset, amikor két fogalom kötete, egymást kizárva, a harmadik kötetében szerepel.

Ítélet- ez egy olyan gondolkodási forma, amelyben valamit megerősítenek vagy tagadnak tárgyakkal, jelekkel vagy azok kapcsolataival kapcsolatban.

következtetés- olyan gondolkodási forma, amelyen keresztül egy vagy több, premisszáknak nevezett ítéletből bizonyos következtetési szabályok szerint ítéletet-következtetést kapunk.

Algebra a szó tág értelmében az összeadáshoz és szorzáshoz hasonló általános műveletek tudománya, amelyek nemcsak számokon, hanem más matematikai objektumokon is végrehajthatók.

Példák algebrákra: természetes számok algebra, racionális számok algebra, polinomok algebra, vektorok algebra, mátrixok algebra, halmazok algebra stb. A logikai algebra vagy a Boole-algebra objektumai propozíciók.

nyilatkozat- ez bármely nyelvű mondat (állítás), amelynek tartalma igaznak vagy hamisnak tekinthető.

Minden állítás igaz vagy hamis; nem lehet a kettő egyszerre.

A természetes nyelvben a megnyilatkozások kijelentő mondatokban fejeződnek ki. A felkiáltó és kérdő mondatok nem állítások.

Az állítások matematikai, fizikai, kémiai és egyéb jelekkel fejezhetők ki. Két numerikus kifejezésből egyenlőség- vagy egyenlőtlenségjelekkel összekapcsolva lehet állításokat tenni.

Az állítás ún egyszerű(elemi), ha egyetlen része sem önmagában állítás.

Az egyszerű állításokból álló állítást ún összetett(nehéz).

Az egyszerű állításokat a logikai algebrában nagy latin betűkkel jelöljük:
DE= (Arisztotelész a logika megalapítója),
NÁL NÉL= (A banán almafán nő).

Az egyszerű állítások igazának vagy hamisságának igazolása a logika algebrán kívül dől el. Például a "háromszög szögeinek összege 180 fokos" állítás igazát vagy hamisságát a geometria állapítja meg, és - Euklidész geometriájában ez az állítás igaz, Lobacsevszkij geometriájában pedig hamis.

Az igaz állításhoz 1, a hamishoz 0 tartozik. DE = 1, NÁL NÉL = 0.

A logika algebrája elvonatkoztatott az állítások szemantikai tartalmától. Csak egy tény érdekli - az adott állítás igaz vagy hamis, ami lehetővé teszi az összetett állítások igazságának vagy hamisságának algebrai módszerekkel történő meghatározását.

A propozíciós algebra alapműveletei.

Logikai művelet CONJUNCTION(lat. conjunctio - megkötöm):

természetes nyelven az uniónak felel meg és;
kijelölés: & ;
a programozási nyelvekben a jelölés a következő: és;
másik név: logikai szorzás.

A kötőszó egy logikai művelet, amely mindkét egyszerű állítást egy összetett utasításhoz társítja, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét eredeti állítás igaz.

Konjunkciós igazság táblázat:

DE	NÁL NÉL	DE&NÁL NÉL
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Logikai művelet DISJUNCTION(lat. disjunctio - megkülönböztetem):

A diszjunkció olyan logikai művelet, amely minden két egyszerű állítást egy összetett állításhoz társít, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét eredeti állítás hamis és igaz, ha az azt alkotó két állítás közül legalább az egyik igaz.

Diszjunkciós igazság táblázat:

DE	NÁL NÉL	DENÁL NÉL
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Logikai művelet INVERSE(lat. inversio - megfordítani):

A negáció egy logikai művelet, amely minden egyszerű utasítást egy összetett utasításhoz társít, ami abból áll, hogy az eredeti utasítást tagadjuk.

Negatív igazság táblázat:

DE	nem A
0	1
1	0

Az VAGY logikai összeadási függvény (LogValue1;LogValue2;…) csak akkor ad ki IGAZ (Igaz) értéket, ha legalább egy logikai argumentum IGAZ (1).

A NOT(LogValue) logikai negációs függvény IGAZ (Igaz) értékre ad kiértékelést, ha a logikai argumentum HAMIS (0), és fordítva, ha a logikai argumentum IGAZ (1), a FALSE (False) értéket.

Logikai művelet VONATKOZÁS(lat. implicatio - szorosan társulok):

Az implikáció egy olyan logikai művelet, amely minden két egyszerű állítást egy összetett állításhoz társít, amely akkor és csak akkor hamis, ha a feltétel (az első állítás) igaz, és a következmény (a második állítás) hamis.

Következtetési igazság táblázat:

DE	NÁL NÉL	DENÁL NÉL
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Logikai művelet EGYENSÚLY(lat. aequivalens - egyenértékű):

természetes nyelvben beszédfordulatoknak felel meg akkor és csak akkorés ha, és csak akkor ha;
kijelölés: ~ ;
másik név: egyenértékűség.

Az ekvivalencia olyan logikai művelet, amely minden két egyszerű állításhoz egy összetett állítást rendel, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét eredeti állítás igaz, vagy mindkettő hamis.

Egyenértékűségi igazság táblázat:

DE	NÁL NÉL	DE~NÁL NÉL
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

A logikai műveletek elsőbbsége a következő: műveletek zárójelben, inverzió, &, , ~.

Egy táblázatot, amely megmutatja, hogy egy összetett utasítás milyen értékeket vesz fel az egyszerű kijelentéseinek összes értékkombinációjára (halmazára), az ún. igazságtáblázatösszetett megnyilatkozás.

Az összetett állítások a logikai algebrában logikai kifejezésekkel íródnak. Bármilyen logikai kifejezéshez elég egyszerűen összeállítani egy igazságtáblázatot.

Az igazságtáblázat felépítésének algoritmusa:

számolja meg a változók számát n logikai kifejezésben;
határozza meg a táblázat sorainak számát m = 2 n ;
számolja meg a logikai műveletek számát a képletben;
megállapítja a logikai műveletek végrehajtási sorrendjét, figyelembe véve a zárójeleket és a prioritásokat;
határozza meg a táblázat oszlopainak számát: a változók száma plusz a műveletek száma;
írja ki a bemeneti változók halmazait, figyelembe véve azt a tényt, hogy ezek n-bites bináris számok természetes sorozatai 0-tól 2-ig n -1;
töltse ki az igazságtáblázatot oszloponként, logikai műveleteket végrehajtva a 4. pontban meghatározott sorrend szerint.

A hibák elkerülése érdekében a bemeneti változók készleteit az alábbiak szerint javasoljuk felsorolni:
a) határozza meg a bemeneti változók számát;
b) oszd ketté az első változó értékoszlopát, és töltsd fel az oszlop felső részét 0-val, az alsó részét pedig -1-gyel;
c) osszuk fel a második változó értékoszlopát négy részre, és töltsünk fel minden negyedet váltakozó 0-s vagy 1-es csoportokkal, a 0-tól kezdve;
d) folytassa a következő változók értékoszlopainak elosztását 8-mal, 16-tal stb. részeket, és a 0. vagy 1. csoporttal addig töltve, amíg a 0. és 1. csoport nem fog egy karakterből állni.

Példa. Az A&(B C) képlethez alkebrailag és táblázatok segítségével készítsen igazságtáblázatot.

A logikai változók száma 3, ezért az igazságtáblázatban a sorok száma 2 3 = 8 legyen.

A képletben a logikai műveletek száma 5, ezért az igazságtáblázatban az oszlopok száma 3 + 5 = 8 legyen.

DE	NÁL NÉL	C	NÁL NÉLC	DE & (NÁL NÉLC)
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Boole-függvény hívja meg a függvényt F(X 1, X 2, ..., X n), akinek érvei X 1, X 2, ..., X n(független változók) és maga a függvény (függő változó) 0 vagy 1 értéket vesz fel.

Azt a táblázatot, amely megmutatja, hogy egy logikai függvény milyen értékeket vesz fel az argumentumai értékeinek összes kombinációjára, a logikai függvény igazságtáblázatának nevezzük. Logikai függvény igazságtáblázata n Az argumentumok 2-t tartalmaznak n vonalak, n argumentumérték oszlopok és 1 függvényérték oszlop.

A logikai függvények megadhatók táblázatos formában vagy analitikusan - megfelelő képletek formájában.

Ha egy logikai függvényt diszjunkciókkal, konjunkciókkal és inverziókkal ábrázolunk, akkor ezt az ábrázolási formát ún. Normál.

Két változóból 16 különböző logikai függvény létezik.

Logikai kifejezések hívott egyenértékű, ha az igazságértékeik egybeesnek a bennük szereplő logikai változók bármely értékével.

A logika algebrájában számos törvény létezik, amelyek lehetővé teszik a logikai kifejezések egyenértékű transzformációját. Mutassuk be ezeket a törvényszerűségeket tükröző összefüggéseket.

A kettős tagadás törvénye:
nem (nem A) = A.
A kettős tagadás kizárja a tagadást.
Kommutatív (kommutatív) törvény:
- a logikai kiegészítéshez:
A B = B A;

A&B=B&A.
Az utasításokkal végzett művelet eredménye nem függ az utasítások felvételének sorrendjétől.
Asszociatív (asszociatív) jog:
- a logikai kiegészítéshez:
(A B) C = A (B C);
Logikai szorzáshoz:
(A & B) & C = A & (B & C).
Ugyanazokkal a jelekkel tetszőlegesen, vagy akár elhagyhatóan is elhelyezhetők a zárójelek.
Elosztási (elosztási) törvény:
- a logikai kiegészítéshez:
(A B) és C = (A és C) (B és C);
Logikai szorzáshoz:
(A és B) C = (A C) és (B C).
Meghatározza az általános állítás zárójelbe helyezésének szabályát.
Az általános inverzió törvénye (de Morgan törvényei):
- a logikai kiegészítéshez:
;
Logikai szorzáshoz:
.
Az idempotencia törvénye (a latin idem szavakból - ugyanaz és potens - erős; szó szerint - egyenértékű):
- a logikai kiegészítéshez:
A A = A;
Logikai szorzáshoz:
A&A=A.
A törvény azt jelenti, hogy nincsenek kitevők.
Állandó kizáró törvények:
- a logikai kiegészítéshez:
A 1 = 1, A 0 = A;
Logikai szorzáshoz:
A&1 = A, A&0 = 0.
Az ellentmondás törvénye:
A & (nem A) = 0.
Lehetetlen, hogy az egymásnak ellentmondó állítások egyszerre igazak legyenek.
A harmadik kizárásának törvénye:
A (nem A) = 1.
Az ugyanarra a témára vonatkozó két egymásnak ellentmondó állítás közül az egyik mindig igaz, a második hamis, a harmadik nem adott.
Abszorpciós törvény:
- a logikai kiegészítéshez:
A(A&B)=A;
Logikai szorzáshoz:
A & (A B) = A.
A kizárás (ragasztás) törvénye:
- a logikai kiegészítéshez:
(A és B) (& B) = B;
Logikai szorzáshoz:
(A B) és (B) = B.
Az ellentmondás törvénye (fordítási szabály):
(AB) = (BA).
A fenti törvények érvényessége táblázatos módon igazolható: írja ki az összes A és B értékkészletet, számítsa ki azokon a bizonyított kifejezés bal és jobb oldali részének értékét, és győződjön meg arról, hogy a az eredményül kapott oszlopok egyeznek.

Példa. Egyszerűsítse a logikai kifejezést:

Efimova O., Morozov V., Ugrinovich N. Számítástechnika tanfolyam az informatika alapjaival. Tankönyv felső tagozatosok számára. - M.: LLC "AST Kiadó"; ABF, 2000
Feladatfüzet-műhely az informatikáról. 2 kötetben / Szerk. I. Semakina, E. Khenner. - M.: Alapismereti Laboratórium, 2001
Ugrinovich N. Informatika és információs technológiák. 10-11 évfolyam - M .: Alapismeretek laboratóriuma, JSC "Moszkvai tankönyvek", 2001

Feladatok és tesztek "A formális logika alapjai" témában

Hozzáférés a DBMS Logichoz - Logikai és matematikai modellek 10. évfolyam
Leckék: 5 Feladatok: 9 Kvíz: 1
Logikai feladatok megoldása matematikai logika segítségével
Leckék: 4 Feladatok: 6 Feladat: 1

Kedves tanuló!

Az 1. munka három olyan témát mutat be, amelyek az „Információs technológia” kurzus alapját képezik. Reméljük, hogy már minimális tapasztalattal rendelkezik a számítógéppel kapcsolatban, és középiskolás korában megismerkedett a készülékével.

A "Számítógépes kommunikáció. Internet" téma az utóbbi időben nagy érdeklődésre tart számot, sok fiatal szinte minden szabadidejét a globális hálózatban tölti. Szeretném emlékeztetni, hogy az internet elsajátítása nemcsak a hálózat „szörfölésének” és az érdekes „csevegéseknek” időnkénti látogatásának a képességét jelenti, hanem a globális hálózatban való információszervezés elveinek megértését, annak szerkezetének megértését is, protokollokat, tudjon konfigurálni a böngészőt és levelező programokat, ismerje és betartsa az internetes munkavégzés etikáját, és természetesen a hálózatot a legfontosabb céljára - a látókör bővítésére - használja.

Ebben a kurzusban nem tértünk ki a webhelyek létrehozásának technológiájára, mivel úgy gondoltuk, hogy a webes kezdőlap létrehozásához szükséges minimális ismereteket további szakirodalomból lehet leszűrni. Az oldalak professzionális szintű létrehozása bizonyos előképzettséget igényel, amely a szöveggel és grafikával való munkavégzés készségén, valamint a programozási képességen alapul.

A "Logika" téma általában némi zavart okoz a diákok körében, nem mindenki érti meg a téma tanulmányozásának fontosságát. Szeretném megjegyezni, hogy a logika ismerete nemcsak a programozási nyelvek és az adatbázisokkal való munka elveinek további tanulmányozásának alapjaként fontos, hanem "szimulátorként" is egy speciális gondolkodásmód kialakításához. A logika tanulmányozásában jeleskedő személynek óriási előnye van a kommunikációban. Nagyon hízelgő hallani a megszólításodban: "Ez logikus", "van logika az érvelésében".

Az informatika leckét egy általános oktatási iskola 10. osztályos tanulói számára tervezték, amelynek tananyaga tartalmazza a „Logika algebra” részt. Ez a téma nagyon nehéz a diákok számára, ezért tanárként szerettem volna őket felkelteni a logika törvényeinek tanulmányozásában, a logikai kifejezések egyszerűsítésében és a logikai problémák megoldásának érdeklődésében. A szokásos formában ebben a témában leckéket tartani fárasztó és fáradságos, és néhány meghatározás nem mindig világos a gyerekek számára. Az információs tér biztosításával kapcsolatban lehetőségem nyílt a „tanulási” héjban posztolni az óráimat. A hallgatók, miután regisztráltak, szabadidejükben részt vehetnek ezen a kurzuson, és újraolvashatják azt, ami nem volt világos az órán. Egyes tanulók, akik betegség miatt hiányoztak az órákról, otthon vagy az iskolában pótolják az elmaradt témát, és mindig készen állnak a következő órára. Ez a tanítási forma sok gyereknek nagyon bejött, és azokat a törvényeket, amelyek számára érthetetlenek voltak, ma már sokkal könnyebben és gyorsabban tanulják meg számítógépes formában. Az egyik ilyen informatikai leckét ajánlom, amely az ICT-vel integráltan zajlik.

Tanterv

Új anyag magyarázata, számítógép bevonásával - 25 perc.
A „tanulásban” lefektetett alapfogalmak és meghatározások – 10 perc.
Anyag a kíváncsiskodóknak - 5 perc.
Házi feladat - 5 perc.

1. Új anyag magyarázata

A formális logika törvényei

A gondolatok közötti legegyszerűbb és legszükségesebb igaz összefüggések a formális logika alaptörvényeiben fejeződnek ki. Ezek az azonosság, az ellentmondásmentesség, a kizárt középső, az elégséges ész törvényei.

Ezek a törvények alapvetőek, mert a logikában különösen fontos szerepet játszanak, ezek a legáltalánosabbak. Lehetővé teszik a logikai kifejezések egyszerűsítését, valamint következtetések és bizonyítások felépítését. A fenti törvények közül az első hármat Arisztotelész azonosította és fogalmazta meg, az elégséges ész törvényét pedig G. Leibniz.

Az azonosság törvénye: egy bizonyos érvelés során minden fogalomnak és ítéletnek azonosnak kell lennie önmagával.

Az ellentmondásmentesség törvénye: lehetetlen, hogy egy és ugyanaz a szem egyszerre legyen, és ne legyen velejárója ugyanabban a dologban ugyanabban a tekintetben. Vagyis lehetetlen egyszerre megerősíteni és tagadni valamit.

A kizárt középső törvénye: két egymásnak ellentmondó állítás közül az egyik igaz, a másik hamis, a harmadik pedig nem adott.

Az elégséges ész törvénye: Minden igaz gondolatnak kellően indokoltnak kell lennie.

Az utolsó törvény azt mondja, hogy valaminek a bizonyítása pontosan és kizárólag igaz gondolatok igazolását feltételezi. A hamis gondolatokat nem lehet bizonyítani. Van egy jó latin közmondás: "A tévedés minden emberre jellemző, de csak a bolond az, aki ragaszkodik a hibához." Ennek a törvénynek nincs képlete, mivel csak tartalmi jellegű. Igaz ítéletek, tényanyag, statisztikai adatok, tudománytörvények, axiómák, bizonyított tételek használhatók érvként az igaz gondolat megerősítésére.

A propozíciós algebra törvényei

Állítások algebra (logikai algebra) a matematikai logika egy része, amely az állításokkal kapcsolatos logikai műveleteket és az összetett állítások átalakításának szabályait tanulmányozza.

Számos logikai feladat megoldása során gyakran szükséges a feltételek formalizálásával kapott képletek egyszerűsítése. Az állítások algebrájában a képletek egyszerűsítése az alapvető logikai törvényeken alapuló ekvivalens transzformációk alapján történik.

Az állítások algebrájának törvényei (logikai algebra) tautológiák.

Néha ezeket a törvényeket tételeknek nevezik.

A propozíciós algebrában a logikai törvényeket ekvivalens képletek egyenlőségeként fejezik ki. A törvények között különösen megkülönböztethetők azok, amelyek egy változót tartalmaznak.

A következő törvények közül az első négy a propozíciós algebra alaptörvénye.

Személyazonossági törvény:

Minden fogalom és ítélet önmagával azonos.

Az azonosság törvénye azt jelenti, hogy az érvelés során nem lehet egyik gondolatot a másikkal helyettesíteni, egyik fogalmat a másikkal. Ha ezt a törvényt megsértik, logikai hibák lehetségesek.

Például vita Helyesen mondják, hogy a nyelv viszi Kijevbe, de tegnap vettem füstölt nyelvet, ami azt jelenti, hogy most nyugodtan mehetek Kijevbe helytelen, mivel az első és a második "nyelv" szó különböző fogalmakat jelöl.

A vitában: A mozgás örök. Az iskolába járás mozgás. Ezért az iskolába járás örökkévaló a "mozgás" szót két különböző értelemben használjuk (az első - filozófiai értelemben - az anyag attribútumaként, a második - köznapi értelemben - mint mozgás a térben), ami hamis következtetésre vezet.

Az ellentmondásmentesség törvénye:

Egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre igaz. Vagyis ha az állítás DE igaz, akkor tagadása nem A hamisnak kell lennie (és fordítva). Akkor a termékük mindig hamis lesz.

Ezt az egyenlőséget gyakran használják összetett logikai kifejezések egyszerűsítésekor.

Néha ez a törvény a következőképpen fogalmazódik meg: két egymásnak ellentmondó állítás nem lehet egyszerre igaz. Példák az ellentmondásmentesség törvényének be nem tartására:

1. Van élet a Marson, és nincs élet a Marson.

2. Olya középiskolát végzett, és 10. osztályba jár.

A kizárt középső törvénye:

Ugyanabban az időpillanatban az állítás lehet igaz vagy hamis, nincs harmadik. Igaz is DE, vagy nem A. Példák a kizárt közép törvényének végrehajtására:

1. Az 12345 szám vagy páros vagy páratlan, nincs harmadik.

2. A társaság veszteségesen vagy nullszaldósan működik.

3. Ez a folyadék lehet sav vagy nem.

A kizárt közép törvénye nem minden logikus által a logika egyetemes törvényeként elismert törvény. Ezt a törvényt ott alkalmazzák, ahol a tudás merev helyzettel foglalkozik: „vagy – vagy”, „igaz-hamis”. Ahol bizonytalanság van (például a jövőről való okoskodásban), ott a kirekesztett közép törvénye gyakran nem alkalmazható.

Vegye figyelembe a következő állítást: Ez a javaslat hamis. Nem lehet igaz, mert azt állítja, hogy hamis. De ez sem lehet hamis, mert akkor igaz lenne. Ez az állítás se nem igaz, se nem hamis, ezért sérül a kirekesztett közép törvénye.

Paradoxon(görög paradoxosz - váratlan, furcsa) ebben a példában abból adódik, hogy a mondat önmagára vonatkozik. Egy másik híres paradoxon a fodrász probléma: Az egyik városban egy fodrász minden lakosnak levágja a haját, kivéve azokat, akik maguk vágják le a haját. Ki vágja le a borbély haját? A logikában a formalitása miatt nem lehet megszerezni egy ilyen önreferencia állítás formáját. Ez ismét megerősíti azt az elképzelést, hogy a logikai algebra segítségével lehetetlen minden lehetséges gondolatot és érvet kifejezni. Mutassuk meg, hogy a propozíciós ekvivalencia definíciója alapján hogyan érhető el az állítási algebra többi törvénye.

Például határozzuk meg, hogy mi egyenértékű (egyenértékű) DE(kétszer nem DE, azaz a tagadás tagadása DE). Ehhez egy igazságtáblázatot készítünk:

Az ekvivalencia definíciója szerint meg kell találnunk azt az oszlopot, amelynek értékei megegyeznek az oszlop értékeivel DE. Ez lesz az oszlop DE.

Így megfogalmazhatjuk kettős törvénytagadások:

Ha egy állítást kétszer tagadunk, akkor az eredmény az eredeti állítás lesz. Például az állítás DE= Matroskin- macska egyenértékű a mondással A = Nem igaz, hogy Matroskin nem macska.

Hasonlóképpen a következő törvények származtathatók és ellenőrizhetők:

Állandó tulajdonságok:

Az idempotencia törvényei:

Nem számít, hányszor ismételjük: TV be vagy TV bekapcsolva vagy TV be... a mondat jelentése nem fog változni. Ugyanígy az ismétlésből Kint meleg van, kint meleg van... egy fokkal sem melegebb.

A kommutativitás törvényei:

A v B = B v A

A & B = B & A

operandusok DEés NÁL NÉL a diszjunkció és a konjunkció műveleteiben felcserélhetők.

Az asszociativitás törvényei:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ha a kifejezés csak a diszjunkciós műveletet vagy csak a konjunkciós műveletet használja, akkor figyelmen kívül hagyhatja a zárójeleket, vagy tetszőlegesen rendezheti azokat.

Az elosztási törvények:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(eloszlási diszjunkció
kötőszóval kapcsolatban)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(a kötőszó disztributivitása
diszjunkcióval kapcsolatban)

A konjunkció eloszlási törvénye a diszjunkció tekintetében hasonló az algebrai eloszlási törvényhez, de a konjunkcióra vonatkozó disztributív diszjunkció törvényének nincs analógja, csak a logikában érvényes. Ezért bizonyítani kell. A bizonyítást legjobb igazságtáblázat segítségével végezni:

Abszorpciós törvények:

A v (A és B) = A

A & (A v B) = A

Végezze el saját maga az abszorpciós törvények bizonyítását.

De Morgan törvényei:

De Morgan törvényeinek verbális megfogalmazásai:

Mnemonikus szabály: az azonosság bal oldalán a tagadás művelete áll a teljes állítás felett. A jobb oldalon úgy tűnik, hogy megtört, és a tagadás áll az egyes egyszerű állítások felett, ugyanakkor a művelet megváltozik: diszjunkció konjunkcióvá és fordítva.

Példák a de Morgan-törvény végrehajtására:

1) Nyilatkozat Nem igaz, hogy tudok arabul vagy kínaiul megegyezik az állítással Nem tudok arabul és nem tudok kínaiul.

2) Nyilatkozat Nem igaz, hogy megtanultam a leckét, és D-t kaptam megegyezik az állítással Vagy nem tanultam meg a leckét, vagy nem kaptam A-t.

Implikációs és ekvivalencia műveletek cseréje

Az implikáció és az ekvivalencia műveletei néha nem tartoznak egy adott számítógép vagy programozási nyelvből származó fordító logikai műveletei közé. Ezek a műveletek azonban számos probléma megoldásához szükségesek. Vannak szabályok arra vonatkozóan, hogyan lehet ezeket a műveleteket negációs, diszjunkciós és konjunkciós műveletsorokkal helyettesíteni.

Tehát cserélje ki a működést következményei a következő szabály szerint lehetséges:

A művelet helyettesítésére egyenértékűség két szabály van:

Könnyű ellenőrizni ezeknek a képleteknek az érvényességét, ha igazságtáblázatokat készítünk mindkét azonosság jobb és bal oldalára.

Az implikáció és az ekvivalencia műveleteinek helyettesítésére vonatkozó szabályok ismerete segít például egy implikáció tagadásának helyes megalkotásában.

Tekintsük a következő példát.

Legyen az állítás:

E = Nem igaz, hogy ha megnyerem a versenyt, akkor díjat kapok.

Hadd DE= Megnyerem a versenyt

B = díjat kapok.

Ezért E = megnyerem a versenyt, de nem kapok díjat.

A következő szabályok is érdekesek:

Igazságtáblázatokkal is igazolhatja érvényességüket.

Érdekes kifejezésük természetes nyelven.

Például a kifejezés

Ha Micimackó mézet evett, akkor jóllakott

azonos a kifejezéssel

Ha Micimackó nem jóllakott, akkor nem evett mézet.

Gyakorlat: gondoljon kifejezésekre-példákra ezekről a szabályokról.

2. Alapfogalmak és definíciók mellékletben

3. Anyag a kíváncsiskodóknak a 2. függelékben

4. Házi feladat

1) Tanulja meg a logika törvényeit az információs térben található Algebra of Logic kurzus segítségével (www.learning.9151394.ru).

2) Ellenőrizze De Morgan törvényeinek bizonyítását számítógépen egy igazságtáblázat megszerkesztésével.

Alkalmazások

Alapfogalmak és definíciók (

§4. A logikai algebra ekvivalens, TI és TL képlete. Alapvető egyenértékűségek. (A logikai műveletek törvényei). A kettősség törvénye.

Meghatározás.

Az A és B logika algebrájának két képletét EGYENértékűnek nevezzük, ha ugyanazokat a logikai értékeket veszik fel a képletekben szereplő elemi állítások bármely halmazán. A képletek egyenértékűségét º jellel jelöljük, az A ºB jelölés pedig azt jelenti, hogy az A és B képletek egyenértékűek.

Az A képletet AZONOSAN IGAZ-nak (vagy TAUTOLOGIA) nevezzük, ha a benne szereplő változók összes értékére 1-et vesz fel.

Egy képletet AZONOSAN HAMIS-nak (vagy ellentmondásnak) nevezünk, ha a benne szereplő változók összes értékére 0 értéket vesz fel.

Az ekvivalencia és az ekvivalencia fogalma között a következő összefüggés van: ha az A és B képletek ekvivalensek, akkor az A"B képlet tautológia, és fordítva, ha az A"B képlet tautológia, akkor az A képlet és B egyenértékűek.

A logikai algebra legfontosabb ekvivalenciái három csoportba oszthatók.

1. Alapvető egyenértékűségek.

Az idempotencia törvényei.

Az ellentmondás törvénye

A kizárt közép törvénye

kettős negatív törvény

abszorpciós törvények

2. Egyes logikai műveleteket másokkal kifejező ekvivalenciák.

Itt a 3, 4, 5, 6 Morgan törvényei.

Világos, hogy az 5. és 6. ekvivalenciát a 3. és 4. ekvivalenciákból kapjuk, ha az utóbbi mindkét részéből tagadásokat veszünk, és a kettős tagadások eltávolításának törvényét alkalmazzuk.

Így az első négy ekvivalencia bizonyításra szorul. Bizonyítsuk be közülük az egyiket: az elsőt.

Mivel ugyanazon x és y logikai értékekre igazak a képletek https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Ezért ebben az esetben mindkét ekvivalenciarésznek ugyanaz a valódi értéke.

Legyen x és y logikai értéke eltérő. Ekkor az ekvivalencia és a két implikáció egyike vagy hamis lesz. De ugyanakkor a kötőszó is hamis lesz. .

Így ebben az esetben az ekvivalencia mindkét részének ugyanaz a logikai jelentése.

A 2-es és 4-es egyenértékűséget hasonlóképpen bizonyítjuk.

E csoport ekvivalenciáiból következik, hogy a logikai algebra bármely képlete helyettesíthető vele egyenértékű formulával, amely mindössze két logikai műveletet tartalmaz: a konjunkciót és a tagadást vagy a diszjunkciót és a tagadást.

A logikai műveletek további kizárása nem lehetséges. Tehát, ha csak konjunkciót használunk, akkor egy olyan képlet, mint a tagadás, nem fejezhető ki a konjunkciós művelettel.

Vannak azonban olyan műveletek, amelyekkel az általunk használt öt logikai művelet bármelyike kifejezhető. Ilyen művelet például a „Schaeffer-ütés” művelet. Ezt a műveletet a ½ left szimbólum jelzi " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Az „ősi” elektronikus számítógépeken alapuló modern számítógépek működési alapelveként bizonyos posztulátumokon alapulnak. Ezeket a logikai algebra törvényeinek nevezik. Az ókori görög tudós, Arisztotelész írt le először egy ilyen tudományágat (természetesen nem olyan részletesen, mint a modern formájában).

A matematika egy külön ágát képviselve, amelyen belül a propozíciószámítást tanulmányozzák, a logikai algebra számos jól körülhatárolható következtetést és következtetést tartalmaz.

A téma jobb megértése érdekében elemezzük azokat a fogalmakat, amelyek a jövőben segítik a logikai algebra törvényeinek megismerését.

A vizsgált tudományágban talán a fő kifejezés az állítás. Ez egy olyan állítás, amely nem lehet egyszerre hamis és igaz. Mindig csak egy ilyen tulajdonsággal rendelkezik. Ugyanakkor konvencionálisan elfogadott, hogy az igazságnak 1-et, a hamisságnak 0-t adunk, és magát az állítást valamiféle A-nak, B-nek, C-nek nevezzük. Más szóval az A=1 képlet azt jelenti, hogy az A állítás igaz. A kifejezéseket többféleképpen lehet kezelni. Nézzük meg röviden a velük végrehajtható műveleteket. Vegye figyelembe azt is, hogy a logikai algebra törvényeit nem lehet elsajátítani e szabályok ismerete nélkül.

1. Diszjunkció két állítás - a "vagy" művelet eredménye. Lehet hamis vagy igaz. A "v" karaktert használják.

2. Konjunkció. Egy ilyen, két állítással végrehajtott cselekvés eredménye csak akkor lesz új, ha mindkét eredeti állítás igaz. Az "és" művelet, a "^" szimbólum használatos.

3. Következtetés."Ha A, akkor B" művelet. Az eredmény egy olyan állítás, amely csak akkor hamis, ha A igaz és B hamis. A "->" szimbólumot használjuk.

4. Egyenértékűség."A akkor és csak akkor, ha B mikor" művelet. Ez az állítás akkor igaz, ha mindkét változó értéke azonos. A szimbólum "<->».

Számos olyan művelet is létezik, amelyek közel állnak az implikációhoz, de ezekkel a cikkben nem foglalkozunk.

Most pedig nézzük meg közelebbről a logikai algebra alaptörvényeit:

1. Kommutatív vagy kommutatív azt állítja, hogy a logikai kifejezések helyének megváltoztatása a konjunkció vagy diszjunkció műveleteiben nem befolyásolja az eredményt.

2. Asszociatív vagy asszociatív. E törvény szerint a konjunkció vagy diszjunkció műveleteiben szereplő változók csoportokba vonhatók.

3. Elosztás vagy forgalmazás. A törvény lényege, hogy az egyenletekben ugyanazok a változók a logika megváltoztatása nélkül kivehetők a zárójelből.

4. De Morgan törvénye (inverzió vagy tagadás). A konjunkció műveletének tagadása egyenértékű az eredeti változók tagadásának diszjunkciójával. A diszjunkció tagadása pedig megegyezik ugyanazon változók tagadásának konjunkciójával.

5. Kettős tagadás. Egy bizonyos állítás tagadása kétszer eredményezi az eredeti állítást, háromszor pedig a tagadását.

6. Az idempotencia törvénye így néz ki logikai összeadás esetén: x v x v x v x = x; szorzáshoz: x^x^x^=x.

7. Az ellentmondásmentesség törvénye azt mondja: két állítás, ha ellentmondásos, nem lehet egyszerre igaz.

8. A harmadik kizárásának törvénye. Két egymásnak ellentmondó állítás közül az egyik mindig igaz, a másik hamis, a harmadik nem adott.

9. Az abszorpció törvénye a logikai összeadáshoz így írható fel: x v (x ^ y) = x, szorzásra: x ^ (x v y) = x.

10. A ragasztás törvénye. Két szomszédos kötőszó összetapadhat, és alacsonyabb rangú kötőszót alkothat. Ebben az esetben eltűnik az a változó, amellyel az eredeti kötőszavakat ragasztották. Példa a logikai összeadásra:

(x^y) v (-x^y)=y.

Csak a logikai algebra leggyakrabban használt törvényeit vettük figyelembe, amelyek valójában sokkal többek is lehetnek, mivel a logikai egyenletek gyakran hosszú és díszes formát öltenek, amely számos hasonló törvény alkalmazásával redukálható.

Általában speciális táblázatokat használnak az eredmények számlálásának és azonosításának megkönnyítésére. A logikai algebra összes létező törvénye, amelynek táblázata egy rács téglalap általános felépítésű, meg van festve, minden változót külön cellába osztva. Minél nagyobb az egyenlet, annál könnyebben kezelhető a táblázatok használata.

A propozíciós algebra törvényei

A propozíciós algebra törvényei (logikai algebra) tautológiák.

Néha ezeket a törvényeket tételeknek nevezik.

A következő törvények közül az első négy a propozíciós algebra alaptörvénye.

Személyazonossági törvény:

A=A

Minden fogalom és ítélet önmagával azonos.

Például az érvelés Helyesen azt mondja, hogy a nyelv viszi Kijevbe, de tegnap vettem egy füstölt nyelvet, ami azt jelenti, hogy most már nyugodtan mehetek Kijevbe hibásan, mivel az első és a második „nyelv” szó különböző fogalmakat jelöl.

Az érvelésben: A mozgás örök. Az iskolába járás mozgás. Ezért az örökkévaló iskolába járás a „mozgás” szót két különböző értelemben használják (az első - filozófiai értelemben - az anyag attribútumaként, a második - köznapi értelemben - mint mozgás a térben), amely hamis következtetéshez vezet.

Az ellentmondásmentesség törvénye :

Ugyanabban az időpillanatban az állítás lehet igaz vagy hamis, nincs harmadik. A vagy igaz, vagy nem A. Példák a kizárt középső törvény végrehajtására:

1. Az 12345 szám páros vagy páratlan, a harmadik nincs megadva.

2. A vállalat veszteségesen vagy nullszaldósan működik.

3. Ez a folyadék lehet sav vagy nem.

A kizárt közép törvénye nem minden logikus által a logika egyetemes törvényeként elismert törvény. Ez a törvény akkor érvényes, amikor a megismerés egy merev helyzettel foglalkozik: „vagy-vagy”, „igaz-hamis”. Ahol bizonytalanság van (például a jövőről való okoskodásban), ott a kirekesztett közép törvénye gyakran nem alkalmazható.

Tekintsük a következő állítást: Ez a mondat hamis. Nem lehet igaz, mert azt állítja, hogy hamis. De ez sem lehet hamis, mert akkor igaz lenne. Ez az állítás se nem igaz, se nem hamis, ezért sérül a kirekesztett közép törvénye.

A paradoxon (görögül paradoxos - váratlan, furcsa) ebben a példában abból adódik, hogy a mondat önmagára vonatkozik. Egy másik jól ismert paradoxon a borbélyprobléma: az egyik városban a fodrász minden lakos haját levágja, kivéve azokat, akik maguk vágják le a haját. Ki vágja le a borbély haját? A logikában a formalitása miatt nem lehet megszerezni egy ilyen önreferencia állítás formáját. Ez ismét megerősíti azt az elképzelést, hogy a logikai algebra segítségével lehetetlen minden lehetséges gondolatot és érvet kifejezni. Mutassuk meg, hogy a propozíciós ekvivalencia definíciója alapján hogyan érhető el az állítási algebra többi törvénye.

Határozzuk meg például, hogy mi az ekvivalens (ekvivalens) A (A kettős tagadás, azaz az A tagadás). Ehhez egy igazságtáblázatot készítünk:

Az ekvivalencia definíciója szerint meg kell találnunk azt az oszlopot, amelynek értékei megegyeznek az A oszlop értékeivel. Ez az A oszlop lesz.

Így megfogalmazhatjuk a kettős tagadás törvényét:

Ha egy állítást kétszer tagadunk, akkor az eredmény az eredeti állítás lesz. Például az állítás A = Matroskin - kat egyenértékű A-val = Nem igaz, hogy Matroskin nem macska.

Hasonlóképpen a következő törvények származtathatók és ellenőrizhetők:

Állandó tulajdonságok:

Az idempotencia törvényei:

Akárhányszor ismételjük: a tévé be van kapcsolva vagy a tévé be van kapcsolva, vagy a tévé be van kapcsolva... a kijelentés jelentése nem fog változni. Hasonlóan az ismétléstől meleg van kint, meleg van kint, ... egy fokkal sem lesz melegebb.

A kommutativitás törvényei:

A v B = B v A

A & B = B & A

Az A és B operandusok a diszjunkció és a konjunkció műveleteiben felcserélhetők.

Az asszociativitás törvényei:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ha a kifejezés csak a diszjunkciós műveletet vagy csak a konjunkciós műveletet használja, akkor figyelmen kívül hagyhatja a zárójeleket, vagy tetszőlegesen rendezheti azokat.

Az elosztási törvények:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(eloszlási diszjunkció
kötőszóval kapcsolatban)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(a kötőszó disztributivitása
diszjunkcióval kapcsolatban)

Abszorpciós törvények:

A v (A és B) = A

A & (A v B) = A

Végezze el saját maga az abszorpciós törvények bizonyítását.

De Morgan törvényei:

De Morgan törvényeinek verbális megfogalmazásai:

Mnemonikus szabály: az azonosság bal oldalán a tagadó művelet a teljes utasítás felett van. A jobb oldalon úgy tűnik, hogy megtört, és a tagadás áll az egyes egyszerű állítások felett, ugyanakkor a művelet megváltozik: diszjunkció konjunkcióvá és fordítva.

Példák a de Morgan-törvény végrehajtására:

1) Az állítás Nem igaz, hogy tudok arabul vagy kínaiul, megegyezik az Nem tudok arabul és nem tudok kínaiul állítással.

2) Az állítás Nem igaz, hogy megtanultam a leckét, és kettőt kaptam érte, megegyezik azzal az állítással, hogy Vagy nem tanultam meg a leckét, vagy nem kaptam érte kettőst.

Implikációs és ekvivalencia műveletek cseréje

Tehát lecserélheti az implikációs műveletet a következő szabály szerint:

Az egyenértékűségi művelet helyettesítésére két szabály vonatkozik:

Könnyű ellenőrizni ezeknek a képleteknek az érvényességét, ha igazságtáblázatokat készítünk mindkét azonosság jobb és bal oldalára.

Az implikáció és az ekvivalencia műveleteinek helyettesítésére vonatkozó szabályok ismerete segít például egy implikáció tagadásának helyes megalkotásában.

Tekintsük a következő példát.

Legyen az állítás:

E = Nem igaz, hogy ha megnyerem a versenyt, akkor díjat kapok.

Hadd A = Megnyerem a versenyt,

B = díjat kapok.

Akkor

Innen, E = Megnyerem a versenyt, de nem kapok díjat.