Logike- znanost koja proučava zakonitosti i oblike mišljenja; doktrina metoda rasuđivanja i dokaza.
Zakone svijeta, suštinu predmeta, ono zajedničko u njima, učimo apstraktnim mišljenjem. Glavni oblici apstraktnog mišljenja su pojmovi, sudovi i zaključci.
koncept- oblik mišljenja koji odražava bitne značajke pojedinog predmeta ili klase homogenih objekata. Pojmovi u jeziku izražavaju se riječima.
Opseg koncepta- skup objekata, od kojih svaki ima atribute koji čine sadržaj pojma. Razlikuju se pojmovi općeg i pojedinačnog.
Volumenom se razlikuju sljedeći odnosi pojmova:
- identitet ili podudarnost volumena, što znači da je volumen jednog pojma jednak volumenu drugog pojma;
- podređenosti ili uključivanje volumena: volumen jednog od pojmova potpuno je uključen u volumen drugog;
- izuzetak svesci - slučaj u kojem nema niti jedne značajke koja bi bila u dva sveska;
- križanje ili djelomična podudarnost volumena;
- podređenosti svesci - slučaj kada su svesci dvaju pojmova, isključujući jedan drugog, uključeni u svezak trećeg.
Osuda- ovo je oblik mišljenja u kojem se nešto potvrđuje ili negira o predmetima, znakovima ili njihovim odnosima.
zaključak- oblik mišljenja, kojim iz jednog ili više sudova, zvanih premisa, prema određenim pravilima zaključivanja, dobivamo sud-zaključak.
Algebra u širem smislu riječi, znanost o općim operacijama sličnim zbrajanju i množenju, koje se mogu izvoditi ne samo na brojevima, već i na drugim matematičkim objektima.
Primjeri algebri: algebra prirodnih brojeva, algebra racionalnih brojeva, algebra polinoma, algebra vektora, algebra matrica, algebra skupova itd. Objekti algebre logike ili Booleove algebre su propozicije.
izjava- ovo je svaka rečenica bilo kojeg jezika (izjava), čiji se sadržaj može odrediti kao istinit ili lažan.
Svaki prijedlog je ili istinit ili lažan; ne može biti oboje u isto vrijeme.
U prirodnom jeziku, iskazi se izražavaju deklarativnim rečenicama. Uzvične i upitne rečenice nisu iskazi.
Iskazi se mogu izraziti matematičkim, fizikalnim, kemijskim i drugim znakovima. Iz dvaju brojčanih izraza mogu se sastaviti tvrdnje njihovim povezivanjem znakovima jednakosti ili nejednakosti.
Izjava se zove jednostavan(elementarno) ako niti jedan njegov dio nije iskaz.
Iskaz sastavljen od jednostavnih iskaza naziva se kompozitni(teško).
Jednostavni iskazi u logičkoj algebri označavaju se velikim latiničnim slovima:
ALI= (Aristotel je utemeljitelj logike),
NA= (Banane rastu na stablima jabuke).
Opravdanje istinitosti ili lažnosti jednostavnih izjava odlučuje se izvan algebre logike. Primjerice, istinitost ili netočnost tvrdnje: "Zbroj kutova trokuta je 180 stupnjeva" utvrđuje geometrija, i - u Euklidovoj geometriji ta je tvrdnja istinita, a u geometriji Lobačevskog netočna.
Točnoj izjavi se dodjeljuje 1, netočnoj - 0. Dakle, ALI = 1, NA = 0.
Algebra logike je apstrahirana od semantičkog sadržaja izjava. Nju zanima samo jedna činjenica - je li navedena tvrdnja istinita ili netočna, što omogućuje utvrđivanje istinitosti ili netočnosti složenih tvrdnji algebarskim metodama.
Osnovne operacije iskazne algebre.
Logička operacija KONJUNKCIJA(lat. conjunctio - vežem):
- u prirodnom jeziku odgovara vezniku i;
- oznaka: & ;
- u programskim jezicima oznaka je: i;
- drugo ime: logično množenje.
Konjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je istinit ako i samo ako su oba izvorna iskaza istinita.
Tablica istinitosti konjunkcije:
| ALI | NA | ALI&NA |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Logička operacija DISJUNKCIJA(lat. disjunctio - razlikujem):
Disjunkcija je logička operacija koja pridružuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je lažan ako i samo ako su oba izvorna iskaza lažna i istinita kada je barem jedan od dva iskaza koji ga čine istinit.
Tablica istinitosti disjunkcije:
| ALI | NA | ALINA |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Logička operacija INVERZIJA(lat. inversio - okrenuti):
Negacija je logička operacija koja povezuje svaki jednostavni iskaz sa složenim iskazom, koji se sastoji u činjenici da je izvorni iskaz negiran.
Negativna tablica istine:
| ALI | ne A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Funkcija logičkog zbrajanja OR (LogValue1;LogValue2;…) daje vrijednost TRUE (True) samo kada je barem jedan booleov argument TRUE (1).
Funkcija logičke negacije NOT(LogValue) daje vrijednost TRUE (True) kada je logički argument FALSE (0) i, obrnuto, vrijednost FALSE (False) kada je logički argument TRUE (1).
Logička operacija IMPLIKACIJA(lat. implicatio - blisko se družim):
Implikacija je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je lažan ako i samo ako je uvjet (prvi iskaz) istinit, a posljedica (drugi iskaz) je lažan.
Tablica istinitosti implikacija:
| ALI | NA | ALINA |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Logička operacija EKVIVALENTNOST(lat. aequivalens - ekvivalent):
- u prirodnom jeziku odgovara obratima govora tada i samo tada i ako i samo ako;
- oznaka: ~ ;
- drugo ime: jednakovrijednost.
Ekvivalencija je logička operacija koja svakim dvjema jednostavnim iskazima dodjeljuje složeni iskaz koji je istinit ako i samo ako su oba izvorna iskaza istinita ili oba netočna.
Tablica istine ekvivalencije:
| ALI | NA | ALI~NA |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Logičke operacije imaju sljedeći prioritet: akcije u zagradama, inverzija, &, , ~.
Tablica koja pokazuje koje vrijednosti uzima složena izjava za sve kombinacije (skupove) vrijednosti svojih jednostavnih izjava naziva se tablica istine složeni izričaj.
Složeni iskazi u algebri logike pišu se pomoću logičkih izraza. Za svaki logički izraz dovoljno je jednostavno izgraditi tablicu istinitosti.
Algoritam za izradu tablice istine:
- prebrojati broj varijabli n u logičkom izrazu;
- odrediti broj redaka u tablici m = 2 n ;
- računati broj logičkih operacija u formuli;
- uspostaviti redoslijed izvršavanja logičkih operacija, uzimajući u obzir zagrade i prioritete;
- odrediti broj stupaca u tablici: broj varijabli plus broj operacija;
- ispisati skupove ulaznih varijabli, uzimajući u obzir činjenicu da su prirodni nizovi n-bitnih binarnih brojeva od 0 do 2 n -1;
- ispunite tablicu istinitosti po stupcima, izvodeći logičke operacije u skladu s redoslijedom utvrđenim u klauzuli 4.
Skupove ulaznih varijabli, kako bi se izbjegle pogreške, preporučuje se navesti na sljedeći način:
a) odrediti broj skupova ulaznih varijabli;
b) stupac vrijednosti prve varijable podijelite na pola i popunite gornji dio stupca s 0, a donji dio -1;
c) podijelite stupac vrijednosti druge varijable u četiri dijela i ispunite svaku četvrtinu naizmjeničnim skupinama od 0 ili 1, počevši od skupine 0;
d) nastavite dijeliti stupce vrijednosti sljedećih varijabli s 8, 16 itd. dijelove i popunjavanje grupama 0 ili 1 dok se grupe 0 i 1 više ne sastoje od jednog znaka.
Primjer. Za formulu A&(B C), konstruirajte tablicu istine algebarski i pomoću proračunskih tablica.
Broj Booleovih varijabli je 3, stoga bi broj redaka u tablici istine trebao biti 2 3 = 8.
Broj logičkih operacija u formuli je 5, stoga bi broj stupaca u tablici istine trebao biti 3 + 5 = 8.
| ALI | NA | C | NAC | ALI & (NAC) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Booleova funkcija pozvati funkciju F(X 1, X 2, ..., X n), čiji argumenti X 1, X 2, ..., X n(neovisne varijable) i sama funkcija (ovisna varijabla) poprimaju vrijednosti 0 ili 1.
Tablica koja pokazuje koje vrijednosti preuzima logička funkcija za sve kombinacije vrijednosti svojih argumenata naziva se tablica istinitosti logičke funkcije. Tablica istinitosti logičke funkcije n argumenti sadrže 2 n linije, n stupci vrijednosti argumenata i 1 stupac vrijednosti funkcije.
Logičke funkcije mogu se zadati tablično ili analitički - u obliku odgovarajućih formula.
Ako se logička funkcija prikazuje pomoću disjunkcija, konjunkcija i inverzija, tada se takav oblik prikaza naziva normalan.
Postoji 16 različitih logičkih funkcija iz dvije varijable.
Booleovi izrazi nazvao ekvivalent, ako se njihove istinite vrijednosti podudaraju za bilo koju vrijednost logičkih varijabli koje su u njima uključene.
U algebri logike postoji niz zakona koji dopuštaju ekvivalentne transformacije logičkih izraza. Predstavimo odnose koji odražavaju te zakone.
- Zakon dvostruke negacije:
nije (nije A) = A.
Dvostruka negacija isključuje negaciju. - Komutativni (komutativni) zakon:
- za logično zbrajanje:
A B = B A;
A&B=B&A.Rezultat operacije nad izjavama ne ovisi o redoslijedu kojim su te izjave uzete.
- Asocijativni (asocijativni) zakon:
- za logično zbrajanje:
(A B) C = A (B C);Za logičko množenje:
(A & B) & C = A & (B & C).Kod istih znakova zagrade se mogu proizvoljno staviti ili čak izostaviti.
- Distributivni (distributivni) zakon:
- za logično zbrajanje:
(A B) & C = (A & C) (B & C);Za logičko množenje:
(A & B) C = (A C) & (B C).Definira pravilo za stavljanje općenite izjave u zagrade.
- Zakon opće inverzije (de Morganovi zakoni):
- za logično zbrajanje:
;Za logičko množenje:
. - Zakon idempotencije (od latinskih riječi idem - isti i potens - jak; doslovno - ekvivalent):
- za logično zbrajanje:
A A = A;Za logičko množenje:
A&A=A.Zakon znači da nema eksponenata.
- Zakoni o stalnom isključivanju:
- za logično zbrajanje:
A 1 = 1, A 0 = A;Za logičko množenje:
A&1 = A, A&0 = 0. - Zakon kontradikcije:
A & (ne A) = 0.Nemoguće je da proturječne izjave budu istinite u isto vrijeme.
- Zakon isključenja trećeg:
A (ne A) = 1.Od dvije kontradiktorne izjave o istoj temi, jedna je uvijek istinita, a druga je lažna, treća nije dana.
- Zakon apsorpcije:
- za logično zbrajanje:
A(A&B)=A;Za logičko množenje:
A & (A B) = A. - Zakon isključenja (lijepljenja):
- za logično zbrajanje:
(A & B) (& B) = B;Za logičko množenje:
(A B) & (B) = B. - Zakon kontrapozicije (pravilo preokreta):
(AB) = (BA).Valjanost gore navedenih zakona može se dokazati tabelarno: ispišite sve skupove vrijednosti A i B, izračunajte vrijednosti lijevog i desnog dijela izraza koji se na njima dokazuje i uvjerite se da je rezultirajući stupci odgovaraju.
Primjer. Pojednostavite Boolean izraz:
- Efimova O., Morozov V., Ugrinovich N. Tečaj računalne tehnologije s osnovama informatike. Udžbenik za starije razrede. - M.: LLC "Izdavačka kuća AST"; ABF, 2000. (monografija).
- Udžbenik-radionica iz informatike. U 2 sveska / Ed. I.Semakina, E.Khenner. - M.: Laboratorij temeljnog znanja, 2001
- Ugrinovich N. Informatika i informacijske tehnologije. Razred 10-11 - M .: Laboratorija osnovnih znanja, JSC "Moskovski udžbenici", 2001.
Zadaci i testovi na temu "Osnove formalne logike"
- Access DBMS Logic - Logičko-matematički modeli 10. razred
Lekcije: 5 zadataka: 9 kvizova: 1
- Rješavanje logičkih problema pomoću matematičke logike
Lekcije: 4 Zadaci: 6 Testovi: 1
Dragi student!
Rad 1 predstavlja tri teme koje čine temelj kolegija "Informacijske tehnologije". Nadamo se da već imate minimalno iskustvo s računalom i da ste se s njegovim uređajem upoznali u srednjoj školi.
Tema "Računalne komunikacije. Internet" u posljednje je vrijeme od velikog interesa, mnogi mladi ljudi provode gotovo sve svoje slobodno vrijeme u globalnoj mreži. Želio bih vas podsjetiti da vladanje internetom ne podrazumijeva samo sposobnost "surfanja" mrežom i s vremena na vrijeme posjećivanja zanimljivih "chatova", već i razumijevanje principa organiziranja informacija u globalnoj mreži, razumijevanje njezine strukture, protokole, znati konfigurirati preglednik i programe za elektroničku poštu, poznavati i poštivati etiku rada na Internetu, te naravno koristiti mrežu za njezinu najvažniju svrhu – za širenje vidika.
U ovom kolegiju nismo obrađivali tehnologiju izrade web stranice, smatrajući da se minimum znanja za izradu web stranice može prikupiti iz dodatne literature. Izrada stranica na profesionalnoj razini zahtijeva određenu obuku koja se temelji na vještinama rada s tekstom i grafikom, kao i sposobnosti programiranja.
Tema "Logika" obično izaziva zbunjenost među studentima, ne razumiju svi važnost proučavanja ove teme. Želio bih napomenuti da je poznavanje logike važno ne samo kao osnova za daljnje proučavanje programskih jezika i principa rada s bazama podataka, već i kao "simulator" za razvoj posebne vrste mišljenja. Osoba koja se ističe u proučavanju logike ima ogromne prednosti u komunikaciji. Vrlo je laskavo čuti u vašoj adresi: "Logično je", "ima logike u vašem razmišljanju."
Lekcija informatike namijenjena je učenicima 10. razreda općeobrazovne škole, čiji kurikulum uključuje dio "Algebra logike". Ova tema je jako teška za učenike pa sam ih ja kao učiteljica željela zainteresirati za proučavanje zakona logike, pojednostavljivanja logičkih izraza i pristupanja rješavanju logičkih problema sa zanimanjem. U uobičajenom obliku, podučavanje ove teme je zamorno i problematično, a neke definicije nisu uvijek jasne djeci. U vezi s pružanjem informacijskog prostora, imao sam priliku objaviti svoje lekcije u ljusci za “učenje”. Učenici, nakon što su se registrirali u njemu, mogu pohađati ovaj tečaj u svoje slobodno vrijeme i ponovno pročitati ono što nije bilo jasno u lekciji. Neki učenici, koji su izostali zbog bolesti, nadoknade propuštenu temu kod kuće ili u školi i uvijek su spremni za sljedeći sat. Ovakav oblik nastave mnogima je djeci jako odgovarao, a one zakonitosti koje su im bile nerazumljive danas puno lakše i brže uče u kompjuterskom obliku. Nudim jednu od ovih lekcija informatike, koja se provodi integrativno s ICT-om.
Plan učenja
- Objašnjenje novog gradiva, uz korištenje računala - 25 minuta.
- Osnovni pojmovi i definicije izneseni u "učenje" - 10 minuta.
- Materijal za znatiželjne - 5 minuta.
- Domaća zadaća - 5 minuta.
1. Objašnjenje novog gradiva
Zakoni formalne logike
Najjednostavnije i najnužnije istinske veze među mislima izražene su u osnovnim zakonima formalne logike. To su zakoni identiteta, neproturječnosti, isključene sredine, dovoljnog razloga.
Ovi zakoni su temeljni jer u logici imaju posebno važnu ulogu, oni su najopćenitiji. Omogućuju vam da pojednostavite logičke izraze i izgradite zaključke i dokaze. Prva tri od navedenih zakona identificirao je i formulirao Aristotel, a zakon dovoljnog razloga - G. Leibniz.
Zakon identiteta: u procesu određenog razmišljanja svaki pojam i sud moraju biti identični sami sebi.
Zakon neproturječnosti: nemoguće je da jedno te isto oko u isto vrijeme bude i ne bude svojstveno istoj stvari u istom pogledu. Odnosno, nemoguće je u isto vrijeme nešto i potvrditi i negirati.
Zakon isključene sredine: od dvije kontradiktorne tvrdnje, jedna je istinita, druga je lažna, a treća nije dana.
Zakon dovoljnog razloga: Svaka istinita misao mora biti dovoljno opravdana.
Posljednji zakon kaže da dokaz nečega pretpostavlja opravdanje upravo i samo istinitih misli. Lažne misli se ne mogu dokazati. Postoji dobra latinska poslovica: "Griješiti je svojstveno svakom čovjeku, ali samo je budala inzistirati na pogrešci." Nema formule za ovaj zakon, jer on ima samo sadržajni karakter. Istiniti sudovi, činjenični materijal, statistički podaci, znanstveni zakoni, aksiomi, dokazani teoremi mogu se koristiti kao argumenti za potvrdu istinite misli.
Zakoni iskazne algebre
Algebra iskaza (algebra logike) dio je matematičke logike koji proučava logičke operacije nad iskazima i pravila za transformaciju složenih iskaza.
Pri rješavanju mnogih logičkih problema često je potrebno pojednostaviti formule dobivene formalizacijom njihovih uvjeta. Pojednostavljivanje formula u algebri iskaza provodi se na temelju ekvivalentnih transformacija temeljenih na osnovnim logičkim zakonima.
Zakoni algebre iskaza (algebre logike) su tautologije.
Ponekad se ti zakoni nazivaju teoremi.
U iskaznoj algebri logički se zakoni izražavaju kao jednakost ekvivalentnih formula. Među zakonima posebno se ističu oni koji sadrže jednu varijablu.
Prva četiri od sljedećih zakona osnovni su zakoni iskazne algebre.
Zakon o identitetu:
Svaki pojam i sud identičan je sam sebi.
Zakon identiteta znači da se u procesu rasuđivanja ne može jedna misao zamijeniti drugom, jedan pojam drugim. Ako se ovaj zakon krši, moguće su logičke pogreške.
Na primjer, rasprava Tačno kažu da će vas jezik odvesti u Kijev, ali ja sam jučer kupio dimljeni jezik, što znači da sada mogu sigurno ići u Kijev netočno, budući da prva i druga riječ "jezik" označavaju različite pojmove.
U raspravi: Kretanje je vječno. Polazak u školu je kretanje. Stoga je ići u školu zauvijek riječ "kretanje" koristi se u dva različita smisla (prvi - u filozofskom smislu - kao atribut materije, drugi - u običnom smislu - kao radnja kretanja u prostoru), što dovodi do pogrešnog zaključka.
Zakon neproturječnosti:
Propozicija i njezina negacija ne mogu biti istinite u isto vrijeme. Odnosno, ako izjava ALI je istina, onda je njegova negacija ne A mora biti lažno (i obrnuto). Tada će njihov proizvod uvijek biti lažan.
Upravo se ta jednakost često koristi pri pojednostavljivanju složenih logičkih izraza.
Ponekad se ovaj zakon formulira na sljedeći način: dvije izjave koje proturječe jedna drugoj ne mogu biti istinite u isto vrijeme. Primjeri nepoštivanja zakona neproturječnosti:
1. Na Marsu ima života, a na Marsu ga nema.
2. Olya je završila srednju školu i ide u 10. razred.
Zakon isključene sredine:
U istom trenutku izjava može biti istinita ili lažna, trećeg nema. Istina bilo ALI, ili ne A. Primjeri primjene zakona isključene sredine:
1. Broj 12345 je ili paran ili neparan, trećeg nema.
2. Poduzeće posluje s gubitkom ili rentabilnosti.
3. Ova tekućina može, ali i ne mora biti kiselina.
Zakon isključene sredine nije zakon koji svi logičari priznaju kao univerzalni zakon logike. Ovaj zakon se primjenjuje tamo gdje se znanje bavi krutom situacijom: "ili - ili", "točno-netočno". Tamo gdje postoji neizvjesnost (na primjer, u razmišljanju o budućnosti), zakon isključene sredine često se ne može primijeniti.
Razmotrite sljedeću izjavu: Ovaj prijedlog je lažan. Ne može biti istina jer tvrdi da je lažna. Ali ne može biti ni lažna, jer bi onda bila istinita. Ova izjava nije ni istinita ni lažna, pa je stoga prekršen zakon isključene sredine.
Paradoks(grč. paradoxos - neočekivano, čudno) u ovom primjeru proizlazi iz činjenice da se rečenica odnosi na samu sebe. Drugi poznati paradoks je problem frizera: U jednom gradu frizer šiša sve stanovnike, osim onih koji se sami šišaju. Tko šiša brijača? U logici, zbog njezine formalnosti, nije moguće dobiti oblik takve samoreferencijalne izjave. Ovo još jednom potvrđuje ideju da je uz pomoć algebre logike nemoguće izraziti sve moguće misli i argumente. Pokažimo kako se na temelju definicije propozicijske ekvivalencije mogu dobiti ostali zakoni propozicijske algebre.
Na primjer, definirajmo što je ekvivalentno (ekvivalentno) ALI(dvaput ne ALI, tj. negacija negacije ALI). Da bismo to učinili, napravit ćemo tablicu istinitosti:
Prema definiciji ekvivalencije, moramo pronaći stupac čije vrijednosti odgovaraju vrijednostima stupca ALI. Ovo će biti stupac ALI.
Dakle, možemo formulirati dvostruko pravonegacije:
Ako neku tvrdnju dvaput negiramo, tada je rezultat originalna izjava. Na primjer, izjava ALI= Matroskin- mačka je ekvivalent reći O = Nije istina da Matroskin nije mačka.
Slično, mogu se izvesti i provjeriti sljedeći zakoni:
Svojstva konstante:
Zakoni idempotencije:
Bez obzira koliko puta ponavljamo: TV uključen ili TV uključen ili TV uključen... značenje rečenice neće se promijeniti. Isto tako i od ponavljanja Vani je toplo, vani je toplo... ni jedan stupanj toplije.
Zakoni komutativnosti:
A v B = B v A
A & B = B & A
operandi ALI i NA u operacijama disjunkcije i konjunkcije mogu se međusobno zamijeniti.
Zakoni asocijativnosti:
A v(B v C) = (A v B) v C;
A & (B & C) = (A & B) & C.
Ako izraz koristi samo operaciju disjunkcije ili samo operaciju konjunkcije, tada možete zanemariti zagrade ili ih rasporediti proizvoljno.
Zakoni distributivnosti:
A v (B & C) = (A v B) & (A v C)
(distributivna disjunkcija
u vezi s konjunkcijom)
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
(distributivnost veznika
u vezi disjunkcije)
Distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju sličan je distributivnom zakonu u algebri, ali zakon distributivne disjunkcije u odnosu na konjunkciju nema analoga, on vrijedi samo u logici. Stoga je treba dokazati. Dokaz je najbolje izvesti pomoću tablice istinitosti:
Zakoni apsorpcije:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Provedite sami dokaz apsorpcijskih zakona.
De Morganovi zakoni:
Verbalne formulacije de Morganovih zakona:
Mnemotehničko pravilo: s lijeve strane identiteta operacija negacije stoji iznad cijelog iskaza. Na desnoj strani, čini se da je slomljena i negacija stoji iznad svakog od jednostavnih iskaza, ali se u isto vrijeme mijenja operacija: disjunkcija u konjunkciju i obrnuto.
Primjeri primjene de Morganovog zakona:
1) Izjava Nije istina da znam arapski ili kineski identičan je izjavi Ne znam arapski i ne znam kineski.
2) Izjava Nije istina da sam naučio lekciju i dobio D na tome identičan je izjavi Ili nisam naučio lekciju, ili nisam dobio peticu.
Zamjena operacija implikacije i ekvivalencije
Operacije implikacije i ekvivalencije ponekad nisu među logičkim operacijama određenog računala ili prevoditelja iz programskog jezika. Međutim, ove operacije su neophodne za rješavanje mnogih problema. Postoje pravila za zamjenu ovih operacija nizovima operacija negacije, disjunkcije i konjunkcije.
Dakle, zamijenite operaciju implikacije moguće prema sljedećem pravilu:
Za zamjenu operacije jednakovrijednost postoje dva pravila:
Lako je provjeriti valjanost ovih formula konstruiranjem tablica istinitosti za desnu i lijevu stranu obaju identiteta.
Poznavanje pravila zamjene operacija implikacije i ekvivalencije pomaže, na primjer, ispravno konstruirati negaciju implikacije.
Razmotrite sljedeći primjer.
Neka se da izjava:
E = Nije istina da ću dobiti nagradu ako pobijedim na natjecanju.
Neka ALI= Pobijedit ću na natjecanju
B = Dobit ću nagradu.
Dakle, E = pobijedit ću na natjecanju, ali neću dobiti nagradu.
Zanimljiva su i sljedeća pravila:
Također možete dokazati njihovu valjanost pomoću tablica istine.
Zanimljiv je njihov izraz prirodnim jezikom.
Na primjer, izraz
Ako je Winnie the Pooh jeo med, onda je sit
identičan je izrazu
Ako Winnie the Pooh nije sit, onda nije jeo med.
Vježba: razmislite o frazama-primjerima na ova pravila.
2. Osnovni pojmovi i definicije u prilogu 1
3. Materijal za znatiželjne u Dodatku 2
4. Domaća zadaća
1) Naučite zakone logike koristeći tečaj Algebra logike koji se nalazi u informacijskom prostoru (www.learning.9151394.ru).
2) Provjerite dokaz De Morganovih zakona na računalu konstruiranjem tablice istinitosti.
Prijave
- Osnovni pojmovi i definicije (
§ četiri. Ekvivalentne, TI i TL formule algebre logike. Osnovne ekvivalencije. (Zakoni logičkih operacija). Zakon dualnosti.
Definicija.
Dvije formule algebre logike A i B nazivaju se EKVIVALENTNIM ako uzimaju iste logičke vrijednosti na bilo kojem skupu elementarnih iskaza uključenih u formule. Ekvivalentnost formula označit ćemo znakom º, a oznaka A ºB znači da su formule A i B ekvivalentne.
Formula A se naziva IDENTIČNO ISTINITA (ili TAUTOLOGIJA) ako uzima vrijednost 1 za sve vrijednosti varijabli koje su u njoj uključene.
Formula se naziva IDENTIČNO NETOČNO (ili PROTURSNO) ako uzima vrijednost 0 za sve vrijednosti varijabli koje su u njoj uključene.
Između pojmova ekvivalencije i ekvivalencije postoji sljedeća veza: ako su formule A i B ekvivalentne, onda je formula A"B tautologija, i obrnuto, ako je formula A"B tautologija, onda su formule A i B su ekvivalentni.
Najvažnije ekvivalencije algebre logike mogu se podijeliti u tri skupine.
1. Osnovne ekvivalencije.
Zakoni idempotencije.
Zakon kontradikcije
Zakon isključene sredine
dvostruki negativni zakon
zakoni apsorpcije
2. Ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije u terminima drugih.
Ovdje su 3, 4, 5, 6 Morganovi zakoni.
Jasno je da se ekvivalencije 5 i 6 dobivaju iz ekvivalencije 3 i 4, redom, ako uzmemo negacije iz oba dijela potonje i upotrijebimo zakon uklanjanja dvostrukih negacija.
Dakle, prve četiri ekvivalencije trebaju dokaz. Dokažimo jednu od njih: prvu.
Budući da su za iste logičke vrijednosti x i y formule istinite https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Stoga, u u ovom slučaju oba dijela ekvivalencije imaju istu pravu vrijednost.
Neka sada x i y imaju različite logičke vrijednosti. Tada će ekvivalentnost i jedna od dvije implikacije ili biti lažna. Ali u isto vrijeme, konjunkcija će također biti lažna. 
.
Dakle, u ovom slučaju oba dijela ekvivalencije imaju isto logičko značenje.
Ekvivalencije 2 i 4 dokazuju se na sličan način.
Iz ekvivalencije ove skupine proizlazi da se bilo koja formula logičke algebre može zamijeniti njoj ekvivalentnom formulom koja sadrži samo dvije logičke operacije: konjunkciju i negaciju ili disjunkciju i negaciju.
Daljnje isključivanje logičkih operacija nije moguće. Dakle, ako koristimo samo konjunkciju, tada se takva formula kao što je negacija ne može izraziti pomoću operacije konjunkcije.
Međutim, postoje operacije kojima se može izraziti bilo koja od pet logičkih operacija koje koristimo. Takva operacija je, na primjer, operacija "Schaefferov moždani udar". Ova operacija je označena simbolom ½ lijevo " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">
Suvremena računala temeljena na "drevnim" elektroničkim računalima temelje se na određenim postulatima kao osnovnim principima rada. Nazivaju se zakonima logičke algebre. Po prvi put je takvu disciplinu opisao (naravno, ne tako detaljno kao u modernom obliku) starogrčki znanstvenik Aristotel.
Predstavljajući zasebnu granu matematike, unutar koje se proučava propozicijski račun, algebra logike ima niz dobro definiranih zaključaka i zaključaka.
Kako bismo bolje razumjeli temu, analizirat ćemo pojmove koji će u budućnosti pomoći u učenju zakona algebre logike.
Možda je glavni pojam u disciplini koja se proučava izjava. Ovo je izjava koja ne može biti i lažna i istinita u isto vrijeme. On uvijek ima samo jednu od ovih karakteristika. U isto vrijeme, konvencionalno je prihvaćeno dati vrijednost 1 istini, 0 netočnosti, a samu izjavu nazvati nekom vrstom A, B, C. Drugim riječima, formula A=1 znači da je izjava A pravi. Izrazima se može rukovati na razne načine. Ukratko razmotrimo radnje koje se mogu izvesti s njima. Imajte na umu također da se zakoni algebre logike ne mogu savladati bez poznavanja ovih pravila.
1. Disjunkcija dva iskaza - rezultat operacije "ili". Može biti lažna ili istinita. Koristi se znak "v".
2. veznik. Rezultat takve akcije, izvedene s dvije propozicije, bit će nova samo ako su obje izvorne propozicije istinite. Koristi se operacija "i", simbol "^".
3. Implikacija. Operacija "Ako A, onda B". Rezultat je iskaz koji je netočan samo ako je A istinit, a B netočan. Koristi se simbol "->".
4. Ekvivalencija. Operacija "A ako i samo ako B kada". Ova izjava je točna ako obje varijable imaju istu vrijednost. Simbol "<->».
Postoji i niz operacija bliskih implikaciji, ali one neće biti razmatrane u ovom članku.
Sada pogledajmo pobliže osnovne zakone algebre logike:
1. Komutativni ili komutativni navodi da promjena mjesta logičkih pojmova u operacijama konjunkcije ili disjunkcije ne utječe na rezultat.
2. Asocijativ ili asocijativ. Prema ovom zakonu, varijable u operacijama konjunkcije ili disjunkcije mogu se kombinirati u skupine.
3. Distribucija ili distribucija. Bit zakona je da se iste varijable u jednadžbama mogu izbaciti iz zagrada bez promjene logike.
4. De Morganov zakon (inverzija ili negacija). Negacija operacije konjunkcije je ekvivalentna disjunkciji negacije izvornih varijabli. Negacija disjunkcije, pak, jednaka je konjunkciji negacije istih varijabli.
5. Dvostruka negacija. Negacija određene tvrdnje dva puta rezultira izvornom tvrdnjom, tri puta - njegovom negacijom.
6. Zakon idempotencije izgleda ovako za logično zbrajanje: x v x v x v x = x; za množenje: x^x^x^=x.
7. Zakon neproturječnosti kaže: dvije tvrdnje, ako su proturječne, ne mogu biti istinite u isto vrijeme.
8. Zakon isključenja trećeg. Među dvije kontradiktorne tvrdnje, jedna je uvijek istinita, druga je lažna, treća nije dana.
9. Zakon apsorpcije može se napisati na ovaj način za logično zbrajanje: x v (x ^ y) = x, za množenje: x ^ (x v y) = x.
10. Zakon lijepljenja. Dva susjedna veznika mogu se zalijepiti i tvoriti veznik nižeg ranga. U tom slučaju nestaje varijabla kojom su lijepljeni izvorni veznici. Primjer za logično zbrajanje:
(x^y) v (-x^y)=y.
Razmotrili smo samo najčešće korištene zakone logičke algebre, kojih zapravo može biti puno više, jer često logičke jednadžbe poprimaju dugačak i kićen oblik, koji se može smanjiti primjenom više sličnih zakona.
U pravilu se koriste posebne tablice za praktičnost brojanja i identifikacije rezultata. Svi postojeći zakoni algebre logike, čija tablica ima opću strukturu mrežnog pravokutnika, oslikani su, raspoređujući svaku varijablu u zasebnu ćeliju. Što je jednadžba veća, to je lakše raditi s tablicama.
Zakoni iskazne algebre
Algebra iskaza (algebra logike) dio je matematičke logike koji proučava logičke operacije nad iskazima i pravila za transformaciju složenih iskaza.
Pri rješavanju mnogih logičkih problema često je potrebno pojednostaviti formule dobivene formalizacijom njihovih uvjeta. Pojednostavljivanje formula u algebri iskaza provodi se na temelju ekvivalentnih transformacija temeljenih na osnovnim logičkim zakonima.
Zakoni propozicijske algebre (algebre logike) su tautologije.
Ponekad se ti zakoni nazivaju teoremi.
U iskaznoj algebri logički se zakoni izražavaju kao jednakost ekvivalentnih formula. Među zakonima posebno se ističu oni koji sadrže jednu varijablu.
Prva četiri od sljedećih zakona osnovni su zakoni iskazne algebre.
Zakon o identitetu:
A=A
Svaki pojam i sud identičan je sam sebi.
Zakon identiteta znači da se u procesu rasuđivanja ne može jedna misao zamijeniti drugom, jedan pojam drugim. Ako se ovaj zakon krši, moguće su logičke pogreške.
Na primjer, pravilno obrazloženje kaže da će vas jezik odvesti u Kijev, ali jučer sam kupio dimljeni jezik, što znači da sada mogu sigurno ići u Kijev pogrešno, jer prva i druga riječ "jezik" označavaju različite pojmove.
U razmišljanju: Kretanje je vječno. Polazak u školu je kretanje. Stoga se odlaskom u školu zauvijek riječ "kretanje" koristi u dva različita značenja (prvo - u filozofskom smislu - kao atribut materije, drugo - u običnom smislu - kao radnja kretanja u prostoru), što dovodi do pogrešnog zaključka.
Zakon neprotuvjetnosti :
U istom trenutku izjava može biti istinita ili lažna, trećeg nema. Ili je A istinito ili nije A. Primjeri primjene zakona isključene sredine:
1. Broj 12345 je ili paran ili neparan, treći nije dan.
2. Tvrtka posluje s gubitkom ili rentabilnosti.
3. Ova tekućina može, ali i ne mora biti kiselina.
Zakon isključene sredine nije zakon koji svi logičari priznaju kao univerzalni zakon logike. Ovaj zakon vrijedi tamo gdje se spoznaja bavi krutom situacijom: "ili-ili", "točno-netočno". Tamo gdje postoji neizvjesnost (na primjer, u razmišljanju o budućnosti), zakon isključene sredine često se ne može primijeniti.
Razmotrite sljedeću izjavu: Ova je rečenica netočna. Ne može biti istina jer tvrdi da je lažna. Ali ne može biti ni lažna, jer bi onda bila istinita. Ova izjava nije ni istinita ni lažna, pa je stoga prekršen zakon isključene sredine.
Paradoks (grč. paradoxos - neočekivano, čudno) u ovom primjeru proizlazi iz činjenice da se rečenica odnosi na samu sebe. Još jedan dobro poznati paradoks je problem brijača: u jednom gradu brijač šiša sve stanovnike, osim onih koji šišaju sami sebe. Tko šiša brijača? U logici, zbog njezine formalnosti, nije moguće dobiti oblik takve samoreferencijalne izjave. Ovo još jednom potvrđuje ideju da je uz pomoć algebre logike nemoguće izraziti sve moguće misli i argumente. Pokažimo kako se na temelju definicije propozicijske ekvivalencije mogu dobiti ostali zakoni propozicijske algebre.
Na primjer, odredimo što je ekvivalent (ekvivalent) A (dvostruka negacija A, tj. negacija negacije A). Da bismo to učinili, napravit ćemo tablicu istine:
Prema definiciji ekvivalencije, moramo pronaći stupac čije vrijednosti odgovaraju vrijednostima stupca A. To će biti stupac A.
Dakle, možemo formulirati zakon dvostruke negacije:
Ako neku tvrdnju dvaput negiramo, tada je rezultat originalna izjava. Na primjer, izjava A = Matroskin - kat je ekvivalentan A = Nije istina da Matroskin nije mačka.
Slično, mogu se izvesti i provjeriti sljedeći zakoni:
Svojstva konstante:
Zakoni idempotencije:
Koliko god ponavljali: TV je uključen ili TV je uključen ili TV je uključen... značenje izjave neće se promijeniti. Slično, iz ponavljanja vani je toplo, vani je toplo, ... neće postati ni za stupanj toplije.
Zakoni komutativnosti:
A v B = B v A
A & B = B & A
Operandi A i B u operacijama disjunkcije i konjunkcije mogu se međusobno zamijeniti.
Zakoni asocijativnosti:
A v(B v C) = (A v B) v C;
A & (B & C) = (A & B) & C.
Ako izraz koristi samo operaciju disjunkcije ili samo operaciju konjunkcije, tada možete zanemariti zagrade ili ih rasporediti proizvoljno.
Zakoni distributivnosti:
A v (B & C) = (A v B) & (A v C)
(distributivna disjunkcija
u vezi s konjunkcijom)
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
(distributivnost veznika
u vezi disjunkcije)
Distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju sličan je distributivnom zakonu u algebri, ali zakon distributivne disjunkcije u odnosu na konjunkciju nema analoga, on vrijedi samo u logici. Stoga je treba dokazati. Dokaz je najbolje izvesti pomoću tablice istinitosti:
Zakoni apsorpcije:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Provedite sami dokaz apsorpcijskih zakona.
De Morganovi zakoni:
Verbalne formulacije de Morganovih zakona:
Mnemotehničko pravilo: na lijevoj strani identiteta, operacija negacije je iznad cijele izjave. Na desnoj strani, čini se da je slomljena i negacija stoji iznad svakog od jednostavnih iskaza, ali se u isto vrijeme mijenja operacija: disjunkcija u konjunkciju i obrnuto.
Primjeri primjene de Morganovog zakona:
1) Tvrdnja Nije istina da znam arapski ili kineski identična je tvrdnji Ne znam arapski i ne znam kineski.
2) Tvrdnja Nije točno da sam naučio lekciju i za to sam dobio dvojku identična je tvrdnji Ili nisam naučio lekciju, ili nisam dobio dvojku za to.
Zamjena operacija implikacije i ekvivalencije
Operacije implikacije i ekvivalencije ponekad nisu među logičkim operacijama određenog računala ili prevoditelja iz programskog jezika. Međutim, ove operacije su neophodne za rješavanje mnogih problema. Postoje pravila za zamjenu ovih operacija nizovima operacija negacije, disjunkcije i konjunkcije.
Dakle, operaciju implikacije možete zamijeniti u skladu sa sljedećim pravilom:
Postoje dva pravila za zamjenu operacije ekvivalencije:
Lako je provjeriti valjanost ovih formula konstruiranjem tablica istinitosti za desnu i lijevu stranu obaju identiteta.
Poznavanje pravila zamjene operacija implikacije i ekvivalencije pomaže, na primjer, ispravno konstruirati negaciju implikacije.
Razmotrite sljedeći primjer.
Neka se da izjava:
E = Nije istina da ću dobiti nagradu ako pobijedim na natjecanju.
Neka A = Pobijedit ću na natjecanju,
B = Dobit ću nagradu.
Zatim
Odavde, E = Pobijedit ću na natjecanju, ali neću dobiti nagradu.