Logiikkaalgebran ekvivalentit TI- ja TL-kaavat. Perusvastaavuudet. (Loogisten operaatioiden lait). Kaksinaisuuden laki. Boolen algebran yksittäisten elementtien laki

Logiikka- tiede, joka tutkii ajattelun lakeja ja muotoja; päättelymenetelmien ja todisteiden oppi.

Maailman lait, esineiden olemus, niissä yhteiset opimme abstraktin ajattelun kautta. Abstraktin ajattelun päämuodot ovat käsitteet, tuomiot ja päätelmät.

konsepti- ajattelun muoto, joka heijastaa yksittäisen kohteen tai homogeenisten esineiden luokan olennaisia ​​piirteitä. Kielen käsitteet ilmaistaan ​​sanoilla.

Käsitteen laajuus- joukko objekteja, joista jokaisella on attribuutteja, jotka muodostavat käsitteen sisällön. Yleisen ja yksikön käsitteet erotetaan toisistaan.

Tilavuuden mukaan erotetaan seuraavat käsitesuhteet:

• identiteetti tai tilavuuksien yhteensattuma, mikä tarkoittaa, että yhden käsitteen tilavuus on yhtä suuri kuin toisen käsitteen tilavuus;
• alisteisuutta tai volyymien sisällyttäminen: yhden käsitteen tilavuus sisältyy kokonaan toisen käsitteen volyymiin;
• poikkeus volyymit - tapaus, jossa ei ole yhtä ominaisuutta, joka olisi kahdessa osassa;
• Risteys tai tilavuuksien osittainen yhteensattuma;
• alisteisuutta volyymit - tapaus, jossa kahden käsitteen volyymit, poissulkevat toisiaan, sisältyvät kolmannen osaan.

Tuomio- Tämä on ajattelun muoto, jossa jotain vahvistetaan tai kielletään esineistä, merkeistä tai niiden suhteista.

päättely- ajattelun muoto, jonka kautta yhdestä tai useammasta arviosta, joita kutsutaan premissiksi, saamme tiettyjen päättelysääntöjen mukaan tuomio-johtopäätöksen.

Algebra sanan laajassa merkityksessä tiede yhteen- ja kertolaskua muistuttavista yleisistä operaatioista, joita voidaan suorittaa paitsi numeroille myös muille matemaattisille objekteille.

Esimerkkejä algebroista: luonnollisten lukujen algebra, rationaalilukujen algebra, polynomien algebra, vektorialgebra, matriisien algebra, joukkojen algebra jne. Logiikkaalgebran eli Boolen algebran objektit ovat propositioita.

lausunto- tämä on mikä tahansa minkä tahansa kielen lause (lausunto), jonka sisältö voidaan määrittää tosi tai epätosi.

Jokainen ehdotus on joko tosi tai epätosi; se ei voi olla molempia yhtä aikaa.

Luonnollisessa kielessä lausunnot ilmaistaan ​​deklaratiivisilla lauseilla. Huuto- ja kyselylauseet eivät ole lausuntoja.

Lausunnot voidaan ilmaista matemaattisilla, fysikaalisilla, kemiallisilla ja muilla merkeillä. Kahdesta numeerisesta lausekkeesta voidaan tehdä väitteitä yhdistämällä ne yhtäläisyys- tai epäyhtälömerkillä.

Lausunto on ns yksinkertainen(alkeisosa), jos mikään sen osa ei itsessään ole lausunto.

Yksinkertaisista lauseista koostuvaa lausuntoa kutsutaan komposiitti(vaikea).

Logiikkaalgebran yksinkertaiset lausunnot merkitään isoilla latinalaisilla kirjaimilla:
MUTTA= (Aristoteles on logiikan perustaja),
AT= (Banaanit kasvavat omenapuissa).

Yksinkertaisten väitteiden totuuden tai valheellisuuden perustelu päätetään logiikan algebran ulkopuolella. Esimerkiksi väitteen totuus tai virheellisyys: "Kolmion kulmien summa on 180 astetta" vahvistetaan geometrialla, ja - Eukleideen geometriassa tämä väite on tosi, ja Lobatševskin geometriassa se on väärä.

Oikealle väitteelle annetaan 1, väärälle - 0. MUTTA = 1, AT = 0.

Logiikan algebra on irrotettu lauseiden semanttisesta sisällöstä. Hän on kiinnostunut vain yhdestä tosiasiasta - annettu väite on tosi tai epätosi, mikä mahdollistaa yhdistelmäväitteiden totuuden tai virheellisyyden määrittämisen algebrallisilla menetelmillä.

Propositioalgebran perusoperaatiot.

Looginen operaatio CONJUNCTION(lat. conjunctio - siton):

• luonnollisella kielellä vastaa konjunktiota ja;
• nimitys: & ;
• ohjelmointikielissä merkintä on: ja;
• toinen nimi: looginen kertolasku.

Konjunktio on looginen operaatio, joka yhdistää kaksi yksinkertaista lausetta yhdistetyn lauseen kanssa, joka on tosi, jos ja vain jos molemmat alkuperäiset lauseet ovat tosia.

Konjunktio totuustaulukko:

MUTTA	AT	MUTTA&AT
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Looginen toiminta DISJUNCTION(lat. disjunctio - erotan):

Disjunktio on looginen operaatio, joka yhdistää molemmat kaksi yksinkertaista lausetta yhdistelmälauseeseen, joka on epätosi silloin ja vain, jos molemmat alkuperäiset lauseet ovat vääriä ja tosi, kun ainakin toinen kahdesta lauseesta, jotka muodostavat sen, on tosi.

Disjunktion totuustaulukko:

MUTTA	AT	MUTTAAT
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Looginen operaatio KÄÄNTEINEN(lat. inversio - käännä):

Negaatio on looginen operaatio, joka yhdistää jokaisen yksinkertaisen lauseen yhdistelmälauseeseen, joka koostuu siitä tosiasiasta, että alkuperäinen lause on negatiivinen.

Negatiivinen totuustaulukko:

MUTTA	ei A
0	1
1	0

Looginen summausfunktio TAI (LogArvo1;LogArvo2;…) laskee arvoksi TOSI (True) vain, kun vähintään yksi looginen argumentti on TOSI (1).

Looginen negatiivinen funktio EI(LogArvo) antaa arvoksi TOSI (tosi), kun looginen argumentti on EPÄTOSI (0), ja päinvastoin arvoksi EPÄTOSI (False), kun looginen argumentti on TOSI (1).

Looginen toiminta VAIKUTUS(lat. impplicatio - liitän läheisesti):

Implikaatio on looginen operaatio, joka yhdistää jokaisen kaksi yksinkertaista lausetta yhdistelmälauseeseen, joka on epätosi, jos ja vain jos ehto (ensimmäinen lause) on tosi ja seuraus (toinen lause) on epätosi.

Implikaatioiden totuustaulukko:

MUTTA	AT	MUTTAAT
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Looginen operaatio EKIVALENTSI(lat. aequivalens - vastaava):

• luonnollisella kielellä vastaa puheen käänteitä silloin ja vain silloin ja jos ja vain jos;
• nimitys: ~ ;
• toinen nimi: vastaavuus.

Ekvivalenssi on looginen operaatio, joka määrittää kullekin kahdelle yksinkertaiselle lauseelle yhdistetyn lauseen, joka on tosi silloin ja vain, jos molemmat alkuperäiset lauseet ovat tosia tai molemmat epätosi.

Ekvivalenssitotuustaulukko:

MUTTA	AT	MUTTA~AT
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Loogisilla operaatioilla on seuraava etusija: toiminnot suluissa, inversio, &, , ~.

Taulukkoa, joka näyttää, mitkä arvot yhdistelmälause saa kaikille yksinkertaisten lauseidensa arvoyhdistelmille (joukoille), kutsutaan nimellä totuustaulukko yhdistetyn lausunnon.

Yhdistetyt lauseet logiikan algebrassa kirjoitetaan käyttämällä loogisia lausekkeita. Kaikille loogisille lausekkeille riittää yksinkertaisesti totuustaulukon rakentaminen.

Algoritmi totuustaulukon muodostamiseksi:

1. laskea muuttujien lukumäärä n loogisessa ilmaisussa;
2. määrittää taulukon rivien lukumäärän m = 2 n ;
3. laskea loogisten operaatioiden lukumäärä kaavassa;
4. määritä loogisten toimintojen suoritusjärjestys ottaen huomioon sulut ja prioriteetit;
5. määritä taulukon sarakkeiden lukumäärä: muuttujien lukumäärä plus operaatioiden määrä;
6. kirjoittaa syötemuuttujien joukkoja ottaen huomioon, että ne ovat luonnollinen n-bittisten binäärilukujen sarja 0-2 n -1;
7. täytä totuustaulukko sarakkeittain suorittamalla loogisia operaatioita kohdassa 4 määritellyn järjestyksen mukaisesti.

Virheiden välttämiseksi syöttömuuttujien joukot suositellaan luettelemaan seuraavasti:
a) määrittää syötemuuttujien joukkojen lukumäärän;
b) jaa ensimmäisen muuttujan arvosarake puoliksi ja täytä sarakkeen yläosa 0:lla ja alaosa -1;
c) jaa toisen muuttujan arvosarake neljään osaan ja täytä jokainen neljännes vuorotellen 0 tai 1 ryhmillä alkaen ryhmästä 0;
d) jatka seuraavien muuttujien arvojen sarakkeiden jakamista 8:lla, 16:lla jne. osat ja täyttämällä ne ryhmillä 0 tai 1, kunnes ryhmät 0 ja 1 eivät koostu yhdestä merkistä.

Esimerkki. Muodosta kaavalle A&(B C) totuustaulukko algebrallisesti ja laskentataulukoita käyttäen.

Boolen muuttujia on 3, joten totuustaulukon rivien lukumäärän tulee olla 2 3 = 8.

Loogisten operaatioiden määrä kaavassa on 5, joten totuustaulukon sarakkeiden lukumäärän tulisi olla 3 + 5 = 8.

MUTTA	AT	C	ATC	MUTTA & (ATC)
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	0	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Boolen funktio kutsua funktiota F(X 1, X 2, ..., X n), jonka argumentit X 1, X 2, ..., X n(riippumattomat muuttujat) ja itse funktio (riippuvainen muuttuja) saavat arvot 0 tai 1.

Taulukkoa, joka näyttää, mitä arvoja looginen funktio saa kaikille argumenttiensa arvojen yhdistelmille, kutsutaan loogisen funktion totuustaulukoksi. Logiikkafunktion totuustaulukko n argumentit sisältävät 2 n linjat, n argumenttiarvosarakkeet ja 1 funktion arvosarake.

Logiikkafunktiot voidaan määrittää taulukkomuodossa tai analyyttisesti - sopivien kaavojen muodossa.

Jos looginen funktio esitetään disjunktioilla, konjunktioilla ja inversioilla, niin tämä esitysmuoto on ns. normaali.

On 16 erilaista loogista funktiota kahdesta muuttujasta.

Boolen lausekkeet nimeltään vastaava, jos niiden totuusarvot osuvat yhteen niiden sisältämien loogisten muuttujien arvojen kanssa.

Logiikkaalgebrassa on useita lakeja, jotka sallivat loogisten lausekkeiden vastaavat muunnokset. Esitetään näitä lakeja heijastavat suhteet.

1. Kaksoisnegaation laki:
   ei (ei A) = A.
   Kaksoisnegatio sulkee pois negatiivisen.
2. Kommutatiivinen (kommutatiivinen) laki:
   - loogista lisäystä varten:
   A B = B A;

   
   A&B=B&A.

   Lausuntojen operaation tulos ei riipu siitä, missä järjestyksessä nämä lausunnot otetaan.

3. Assosiatiivinen (assosiatiivinen) laki:
   - loogista lisäystä varten:
   (A B) C = A (B C);

   Looginen kertolasku:
   (A & B) & C = A & (B & C).

   Samoilla merkeillä sulut voidaan sijoittaa mielivaltaisesti tai jopa jättää pois.

4. Jakelu (jakelu)laki:
   - loogista lisäystä varten:
   (A B) & C = (A & C) (B & C);

   Looginen kertolasku:
   (A & B) C = (A C) & (B C).

   Määrittää yleisen lausuman sulkemissäännön.

5. Yleisen inversion laki (de Morganin lait):
   - loogista lisäystä varten:
   ;

   Looginen kertolasku:
   .

6. Idempotenssin laki (latinan sanoista idem - sama ja potens - vahva; kirjaimellisesti - vastaava):
   - loogista lisäystä varten:
   A A = A;

   Looginen kertolasku:
   A&A=A.

   Laki tarkoittaa, ettei eksponenteja.

7. Jatkuvat poissulkevat lait:
   - loogista lisäystä varten:
   A 1 = 1, A 0 = A;

   Looginen kertolasku:
   A&1 = A, A&0 = 0.

8. Ristiriidan laki:
   A & (ei A) = 0.

   On mahdotonta, että ristiriitaiset väitteet ovat totta samaan aikaan.

9. Kolmannen poissulkemislaki:
   A (ei A) = 1.

   Samaa aihetta koskevista kahdesta ristiriitaisesta väitteestä toinen on aina totta, toinen on väärä, kolmatta ei anneta.

10. Absorptiolaki:
    - loogista lisäystä varten:
    A(A&B)=A;

    Looginen kertolasku:
    A & (A B) = A.

11. Poissulkemislaki (liimaus):
    - loogista lisäystä varten:
    (A & B) (& B) = B;

    Looginen kertolasku:
    (A B) & (B) = B.

12. Kontraposition laki (käänteissääntö):
    (AB) = (BA).

    Yllä olevien lakien pätevyys voidaan todistaa taulukkomuodossa: kirjoita kaikki arvojoukot A ja B, laske niille todistettavan lausekkeen vasemman ja oikean osan arvot ja varmista, että tuloksena olevat sarakkeet vastaavat.

Esimerkki. Yksinkertaista boolen lauseke:

1. Efimova O., Morozov V., Ugrinovich N. Tietojenkäsittelytekniikan kurssi informatiikan perusteilla. Oppikirja vanhemmille luokille. - M.: LLC "AST Publishing House"; ABF, 2000
2. Tehtäväkirja-työpaja tietotekniikasta. 2 osassa / Toim. I. Semakina, E. Khenner. - M.: Basic Knowledge Laboratory, 2001
3. Ugrinovich N. Informatiikka ja tietotekniikat. Luokka 10-11 - M .: Perustiedon laboratorio, JSC "Moskovan oppikirjat", 2001

Tehtävät ja testit aiheesta "Formaalisen logiikan perusteet"

• Käytä DBMS Logiciaa - Loogiset ja matemaattiset mallit, luokka 10

  Oppitunnit: 5 Tehtävät: 9 Tietovisat: 1

• Loogisten ongelmien ratkaiseminen matemaattisen logiikan avulla

  Oppitunnit: 4 Tehtävät: 6 Testit: 1

Rakas opiskelija!

Työ 1 esittelee kolme aihetta, jotka muodostavat tietotekniikan kurssin perustan. Toivomme, että sinulla on vähän kokemusta tietokoneesta ja olet tutustunut sen laitteeseen yläasteella.

Aihe "Tietokoneliikenne. Internet" on viime aikoina kiinnostanut paljon, monet nuoret viettävät lähes kaiken vapaa-aikansa maailmanlaajuisessa verkossa. Haluaisin muistuttaa, että Internetin hallinta ei tarkoita vain kykyä "surffata" verkossa ja käydä mielenkiintoisissa "chateissa" ajoittain, vaan myös ymmärtää globaalin verkon tietojen järjestämisen periaatteet, ymmärtää sen rakennetta, protokollia, osata konfiguroida selain- ja sähköpostiohjelmia, tuntea ja noudattaa Internetissä työskentelyn etiikkaa ja tietysti käyttää verkkoa sen tärkeimpään tarkoitukseen - horisonttinsa laajentamiseen.

Emme käsitelleet web-sivustojen luomistekniikkaa tällä kurssilla, koska uskoimme, että vähimmäistiedot web-kotisivun luomiseen voidaan poimia lisäkirjallisuudesta. Ammattitason sivustojen luominen vaatii jonkin verran koulutusta, joka perustuu tekstin ja grafiikan työskentelytaitoon sekä ohjelmointitaitoon.

Aihe "Logiikka" aiheuttaa yleensä hämmennystä opiskelijoiden keskuudessa, kaikki eivät ymmärrä tämän aiheen opiskelun tärkeyttä. Haluaisin huomauttaa, että logiikan tuntemus on tärkeä paitsi ohjelmointikielten ja tietokantojen kanssa työskentelyn periaatteiden jatkotutkimuksen perustana, myös "simulaattorina" tietynlaisen ajattelun kehittämiselle. Logiikkaa tutkivalla henkilöllä on valtavia etuja viestinnässä. On erittäin imartelevaa kuulla puheenvuorossasi: "Se on loogista", "päättelyssäsi on logiikkaa."

Informatiikan oppitunti on tarkoitettu yleissivistävän koulun 10. luokan opiskelijoille, jonka opetussuunnitelmaan sisältyy osio "Logiikkaalgebra". Tämä aihe on erittäin vaikea opiskelijoille, joten halusin opettajana kiinnostaa heitä tutkimaan logiikan lakeja, yksinkertaistamaan loogisia lausekkeita ja lähestymään loogisten ongelmien ratkaisua mielenkiinnolla. Tavallisessa muodossa oppituntien antaminen tästä aiheesta on työlästä ja vaivalloista, eivätkä jotkin määritelmät ole aina selviä lapsille. Tietotilan tarjoamisen yhteydessä minulla oli mahdollisuus postata oppituntini "oppimiskuoreen". Opiskelijat, jotka ovat rekisteröityneet siihen, voivat osallistua kurssille vapaa-ajallaan ja lukea uudelleen, mitä oppitunnilla jäi epäselväksi. Jotkut oppilaat, jotka ovat jättäneet oppitunnit poissa sairauden vuoksi, korjaavat poissaolon aiheen kotona tai koulussa ja ovat aina valmiina seuraavaan oppituntiin. Tämä opetusmuoto sopi monille lapsille erittäin hyvin, ja ne lait, jotka olivat heille käsittämättömiä, opitaan nykyään tietokoneella paljon helpommin ja nopeammin. Tarjoan yhden näistä informatiikan tunneista, joka toteutetaan integratiivisesti ICT:n kanssa.

Tuntisuunnitelma

1. Uuden materiaalin selitys tietokoneen avulla - 25 minuuttia.
2. "Oppimisessa" esitetyt peruskäsitteet ja määritelmät - 10 minuuttia.
3. Materiaalia uteliaille - 5 minuuttia.
4. Kotitehtävät - 5 minuuttia.

1. Uuden materiaalin selitys

Formaalisen logiikan lait

Yksinkertaisimmat ja tarpeellisimmat todelliset yhteydet ajatusten välillä ilmaistaan ​​muodollisen logiikan peruslaeissa. Nämä ovat identiteetin, ristiriitaisuuden, poissuljetun keskikohdan, riittävän syyn lait.

Nämä lait ovat perustavanlaatuisia, koska niillä on logiikassa erityisen tärkeä rooli, ne ovat yleisimpiä. Niiden avulla voit yksinkertaistaa loogisia lausekkeita ja rakentaa päätelmiä ja todisteita. Ensimmäiset kolme edellä olevista laeista tunnisti ja muotoili Aristoteles ja riittävän järjen lain G. Leibniz.

Identiteettilaki: tietyn päättelyn prosessissa jokaisen käsitteen ja tuomion on oltava identtinen itsensä kanssa.

Ristiriidattomuuden laki: on mahdotonta, että yksi ja sama silmä on samaan aikaan eikä ole luontainen samaan asiaan samassa suhteessa. Eli on mahdotonta vahvistaa ja kieltää jotain yhtä aikaa.

Poissuljetun keskikohdan laki: kahdesta ristiriitaisesta väitteestä toinen on tosi, toinen on väärä ja kolmas ei ole annettu.

Riittävän järjen laki: Jokaisen tosi ajatuksen on oltava riittävän perusteltu.

Viimeinen laki sanoo, että todiste jostain edellyttää täsmälleen ja vain todellisten ajatusten oikeuttamista. Vääriä ajatuksia ei voida todistaa. On hyvä latinalainen sananlasku: "Erehtyminen on yleistä jokaiselle, mutta vain tyhmä on vaatia virhettä." Tälle laille ei ole kaavaa, koska sillä on vain aineellinen luonne. Aitoja tuomioita, faktamateriaalia, tilastotietoja, tieteen lakeja, aksioomia, todistettuja lauseita voidaan käyttää perusteluina oikean ajatuksen vahvistamiseksi.

Propositialgebran lait

Propositioiden algebra (logiikan algebra) on matemaattisen logiikan osa, joka tutkii lauseiden loogisia operaatioita ja monimutkaisten lauseiden muuntamisen sääntöjä.

Kun ratkaistaan ​​monia loogisia tehtäviä, on usein tarpeen yksinkertaistaa kaavoja, jotka on saatu formalisoimalla niiden ehdot. Lausealgebran kaavojen yksinkertaistaminen tapahtuu loogisiin peruslakeihin perustuvien ekvivalenttien muunnosten perusteella.

Lausealgebran lait (logiikan algebra) ovat tautologioita.

Joskus näitä lakeja kutsutaan lauseiksi.

Propositioalgebrassa loogiset lait ilmaistaan ​​ekvivalenttien kaavojen yhtäläisyyksinä. Lakien joukossa erottuvat erityisesti ne, jotka sisältävät yhden muuttujan.

Ensimmäiset neljä seuraavista laeista ovat lausealgebran peruslakeja.

Identiteettilaki:

Jokainen käsite ja tuomio on identtinen itsensä kanssa.

Identiteettilaki tarkoittaa, että päättelyprosessissa ei voi korvata yhtä ajatusta toisella, käsitettä toisella. Jos tätä lakia rikotaan, loogiset virheet ovat mahdollisia.

Esimerkiksi keskustelu He sanovat oikein, että kieli vie sinut Kiovaan, mutta ostin eilen savustettua kieltä, mikä tarkoittaa, että nyt voin mennä turvallisesti Kiovaan väärin, koska ensimmäinen ja toinen sana "kieli" tarkoittavat eri käsitteitä.

Keskustelussa: Liike on ikuista. Koulussa käyminen on liikettä. Siksi koulunkäynti on ikuista sanaa "liike" käytetään kahdessa eri merkityksessä (ensimmäinen - filosofisessa mielessä - aineen attribuuttina, toinen - tavallisessa merkityksessä - toimintona liikkua avaruudessa), mikä johtaa väärään johtopäätökseen.

Ristiriitattomuuden laki:

Väite ja sen kieltäminen eivät voi olla totta samaan aikaan. Eli jos lausunto MUTTA on totta, sitten sen kieltäminen ei A on oltava epätosi (ja päinvastoin). Silloin heidän tuotteensa on aina väärä.

Tätä yhtäläisyyttä käytetään usein monimutkaisten loogisten lausekkeiden yksinkertaistamisessa.

Joskus tämä laki muotoillaan seuraavasti: kaksi väitettä, jotka ovat ristiriidassa keskenään, eivät voi olla totta samanaikaisesti. Esimerkkejä ristiriitaisuuslain noudattamatta jättämisestä:

1. Marsissa on elämää, eikä Marsissa ole elämää.

2. Olya valmistui lukiosta ja on 10. luokalla.

Poissuljetun keskikohdan laki:

Samalla hetkellä väite voi olla joko tosi tai epätosi, kolmatta ei ole. Totta sekään MUTTA, tai ei A. Esimerkkejä poissuljetun keskikohdan lain täytäntöönpanosta:

1. Numero 12345 on joko parillinen tai pariton, kolmatta ei ole.

2. Yhtiö toimii tappiollisesti tai kannattavasti.

3. Tämä neste voi olla tai ei ole happoa.

Poissuljetun keskikohdan laki ei ole laki, jonka kaikki logiikot tunnustavat universaaliksi logiikan laiksi. Tätä lakia sovelletaan, kun tieto käsittelee jäykkää tilannetta: "joko - tai", "tosi-epätosi". Siellä missä on epävarmuutta (esimerkiksi tulevaisuuden pohdinnassa), poissuljetun keskikohdan lakia ei useinkaan voida soveltaa.

Harkitse seuraavaa lausuntoa: Tämä ehdotus on väärä. Se ei voi olla totta, koska se väittää olevansa väärä. Mutta se ei voi myöskään olla väärä, koska silloin se olisi totta. Tämä väite ei ole totta eikä tarua, ja siksi poissuljetun keskikohdan lakia rikotaan.

Paradoksi(Kreikka paradoxos - odottamaton, outo) tässä esimerkissä syntyy siitä tosiasiasta, että lause viittaa itseensä. Toinen kuuluisa paradoksi on kampaajaongelma: Yhdessä kaupungissa kampaaja leikkaa kaikkien asukkaiden hiukset, paitsi niillä, jotka leikkaavat itse hiuksensa. Kuka leikkaa parturin hiukset? Logiikassa sen muodollisuuden vuoksi ei ole mahdollista saada sellaisen itseviittaavan lausuman muotoa. Tämä vahvistaa jälleen kerran ajatuksen, että logiikan algebran avulla on mahdotonta ilmaista kaikkia mahdollisia ajatuksia ja argumentteja. Osoitetaan, kuinka lauseekvivalenssin määritelmän perusteella voidaan saada loput lausealgebran lait.

Esimerkiksi määritellään mikä vastaa (vastaa) MUTTA(kahdesti ei MUTTA, eli kieltämisen kieltäminen MUTTA). Tätä varten rakennamme totuustaulukon:

Vastaavuuden määritelmän mukaan meidän on löydettävä sarake, jonka arvot vastaavat sarakkeen arvoja MUTTA. Tästä tulee kolumni MUTTA.

Näin ollen voimme muotoilla kaksoislakinegatiivit:

Jos kumoamme jonkin lauseen kahdesti, tuloksena on alkuperäinen lause. Esimerkiksi lausunto MUTTA= Matroskin- kissa vastaa sanomista A = Ei ole totta, että Matroskin ei ole kissa.

Samalla tavalla voidaan johtaa ja tarkistaa seuraavat lait:

Vakioominaisuudet:

Idempotenssin lait:

Ei väliä kuinka monta kertaa toistamme: TV päällä tai TV päällä tai TV päällä... lauseen merkitys ei muutu. Samoin toistosta Ulkona on lämmin, ulkona lämmin... ei yhtään astetta lämpimämpää.

Kommutatiivisuuden lait:

A v B = B v A

A & B = B & A

operandit MUTTA ja AT disjunktion ja konjunktion operaatioissa voidaan vaihtaa keskenään.

Assosiatiivisuuden lait:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Jos lauseke käyttää vain disjunktiooperaatiota tai vain konjunktiooperaatiota, voit jättää hakasulkeet huomioimatta tai järjestää ne mielivaltaisesti.

Jakelusäännöt:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributiivinen disjunktio
koskien konjunktiota)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(konjunktion distributiivisuus
disjunktion suhteen)

Disjunktion disjunktiolaki on samanlainen kuin algebran disjunktiolaki, mutta konjunktion disjunktiolakilla ei ole analogia, se pätee vain logiikassa. Siksi se on todistettava. Todistus tehdään parhaiten käyttämällä totuustaulukkoa:

Absorptiolainsäädäntö:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Todista absorptiolaki itse.

De Morganin lait:

De Morganin lakien sanalliset sanamuodot:

Mnemoninen sääntö: identiteetin vasemmalla puolella negaatiooperaatio on koko lausunnon yläpuolella. Oikealla puolella se näyttää olevan rikki ja negaatio on jokaisen yksinkertaisen lauseen yläpuolella, mutta samalla operaatio muuttuu: disjunktio konjunktioon ja päinvastoin.

Esimerkkejä de Morganin lain täytäntöönpanosta:

1) Lausunto Ei ole totta, että osaisin arabiaa tai kiinaa on identtinen lausunnon kanssa En osaa arabiaa enkä kiinaa.

2) Lausunto Ei ole totta, että opin läksyni ja sain sen D:n on identtinen lausunnon kanssa Joko en oppinut opetusta tai en saanut A:ta.

Implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioiden korvaaminen

Implikaatio- ja ekvivalenssioperaatiot eivät toisinaan kuulu tietyn tietokoneen tai ohjelmointikielen kääntäjän loogisten toimintojen joukkoon. Nämä toiminnot ovat kuitenkin välttämättömiä monien ongelmien ratkaisemiseksi. On olemassa sääntöjä näiden operaatioiden korvaamiseksi negaatio-, disjunktio- ja konjunktiooperaatioilla.

Joten vaihda toiminta seurauksia mahdollista seuraavan säännön mukaan:

Toiminnan korvaamiseksi vastaavuus on kaksi sääntöä:

Näiden kaavojen pätevyys on helppo varmistaa rakentamalla totuustaulukot molempien identiteettien oikealle ja vasemmalle puolelle.

Implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioiden korvaamissääntöjen tunteminen auttaa esimerkiksi rakentamaan oikein implikaation negaatiota.

Harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Olkoon lausunto:

E = Ei ole totta, että jos voitan kilpailun, saan palkinnon.

Päästää MUTTA= Voitan kilpailun

B = Saan palkinnon.

Näin ollen E = Voitan kilpailun, mutta en saa palkintoa.

Myös seuraavat säännöt kiinnostavat:

Voit myös todistaa niiden pätevyyden käyttämällä totuustaulukoita.

Niiden ilmaisu luonnollisella kielellä on mielenkiintoista.

Esimerkiksi lause

Jos Nalle Puh söi hunajaa, hän on kylläinen

on identtinen lauseen kanssa

Jos Nalle Puh ei ole kylläinen, hän ei syönyt hunajaa.

Harjoittele: ajattele lauseita-esimerkkejä näistä säännöistä.

2. Peruskäsitteet ja määritelmät liitteessä 1

3. Materiaalia uteliaille liitteessä 2

4. Kotitehtävät

1) Opi logiikan lait käyttämällä tietotilassa sijaitsevaa Algebra of Logic -kurssia (www.learning.9151394.ru).

2) Tarkista De Morganin lakien todisteet PC:llä rakentamalla totuustaulukko.

Sovellukset

1. Peruskäsitteet ja määritelmät (

§ neljä. Logiikkaalgebran ekvivalentit TI- ja TL-kaavat. Perusvastaavuudet. (Loogisten operaatioiden lait). Kaksinaisuuden laki.

Määritelmä.

Kahta logiikan A ja B algebran kaavaa kutsutaan EKIVALENTISEKSI, jos niillä on samat loogiset arvot missä tahansa kaavoihin sisältyvien peruslauseiden joukossa. Kaavojen vastaavuus merkitään merkillä º ja merkintä A ºB tarkoittaa, että kaavat A ja B ovat ekvivalentteja.

Kaavaa A kutsutaan identtisesti TOSI (tai TAUTOLOGIAA), jos se saa arvon 1 kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille.

Kaavaa kutsutaan identtisesti EPÄTOSI (tai RISKIRIIKSI), jos se saa arvon 0 kaikille siihen sisältyvien muuttujien arvoille.

Ekvivalenssin ja ekvivalenssin käsitteiden välillä on seuraava yhteys: jos kaavat A ja B ovat ekvivalentteja, niin kaava A"B on tautologia ja päinvastoin, jos kaava A"B on tautologia, niin kaavat A ja B ovat ekvivalentteja.

Logiikkaalgebran tärkeimmät ekvivalenssit voidaan jakaa kolmeen ryhmään.

1. Perusekvivalenssit.

Idempotenssin lait.

Ristiriitojen laki

Poissuljetun keskikohdan laki

kaksinkertainen negatiivinen laki

absorptiolakeja

2. Ekvivalenssit, jotka ilmaisevat joitain loogisia operaatioita toisilla.

Tässä 3, 4, 5, 6 ovat Morganin lakeja.

On selvää, että ekvivalenssit 5 ja 6 saadaan vastaavasti ekvivalensseista 3 ja 4, jos otamme negaatiot jälkimmäisen molemmista osista ja käytämme kaksoisnegatioiden poiston lakia.

Näin ollen neljä ensimmäistä ekvivalenssia tarvitsevat todisteen. Todistakaamme yksi niistä: ensimmäinen.

Koska samoilla loogisilla arvoilla x ja y kaavat ovat totta https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Siksi tässä tapauksessa molemmilla ekvivalenssiosilla on sama todellinen arvo.

Olkoon nyt x:llä ja y:llä eri loogiset arvot. Silloin vastaavuus ja toinen kahdesta implikaatiosta tai ovat vääriä. Mutta samaan aikaan konjunktio on myös väärä. .

Näin ollen tässä tapauksessa molemmilla ekvivalenssiosilla on sama looginen merkitys.

Ekvivalenssit 2 ja 4 todistetaan samalla tavalla.

Tämän ryhmän ekvivalenssista seuraa, että mikä tahansa logiikan algebran kaava voidaan korvata sitä vastaavalla kaavalla, joka sisältää vain kaksi loogista operaatiota: konjunktio ja negaatio tai disjunktio ja negaatio.

Loogisten operaatioiden poissulkeminen ei ole mahdollista. Joten jos käytämme vain konjunktia, niin sellaista kaavaa kuin negaatio ei voida ilmaista konjunktiooperaatiolla.

On kuitenkin operaatioita, joilla mikä tahansa käyttämistämme viidestä loogisesta operaatiosta voidaan ilmaista. Tällainen operaatio on esimerkiksi operaatio "Schaefferin aivohalvaus". Tämä toiminto on merkitty symbolilla ½ left " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Nykyaikaiset tietokoneet, jotka perustuvat "vanhaisiin" elektronisiin tietokoneisiin, perustuvat tiettyihin oletuksiin toiminnan perusperiaatteina. Niitä kutsutaan logiikan algebran laeiksi. Muinainen kreikkalainen tiedemies Aristoteles kuvasi ensimmäistä kertaa tällaisen tieteenalan (tietenkään, ei niin yksityiskohtaisesti kuin nykyisessä muodossaan).

Edustaen erillistä matematiikan haaraa, jossa propositiolaskentaa tutkitaan, logiikan algebrassa on useita hyvin määriteltyjä johtopäätöksiä ja johtopäätöksiä.

Aiheen ymmärtämiseksi paremmin analysoimme käsitteitä, jotka auttavat tulevaisuudessa oppimaan logiikan algebran lakeja.

Ehkä tärkein termi tutkittavassa tieteenalassa on lausunto. Tämä on väite, joka ei voi olla samanaikaisesti sekä väärä että totta. Hänellä on aina vain yksi näistä ominaisuuksista. Samaan aikaan on perinteisesti hyväksytty antaa arvo 1 totuudelle, 0 väärälle ja kutsua itse väite jonkinlaiseksi A, B, C. Toisin sanoen kaava A=1 tarkoittaa, että väite A on totta. Ilmaisuja voidaan käsitellä monin eri tavoin. Tarkastellaan lyhyesti toimintoja, joita niillä voidaan suorittaa. Huomaa myös, että logiikan algebran lakeja ei voida hallita tuntematta näitä sääntöjä.

1. Disjunktio kaksi lausetta - operaation "tai" tulos. Se voi olla joko väärä tai totta. Käytetään kirjainta "v".

2. Konjunktio. Tällaisen kahdella lauseella suoritetun toiminnan tulos on uusi vain, jos molemmat alkuperäiset ehdotukset ovat tosia. Käytetään operaatiota "ja", symbolia "^".

3. Implisaatio."Jos A, niin B" -toiminto. Tuloksena on väite, joka on epätosi vain, jos A on tosi ja B on epätosi. Käytetään "->"-symbolia.

4. Vastaavuus. Operaatio "A jos ja vain jos B milloin". Tämä väite on totta, jos molemmilla muuttujilla on sama arvo. Symboli "<->».

On myös useita operaatioita, jotka ovat lähellä implikaatiota, mutta niitä ei käsitellä tässä artikkelissa.

Katsotaanpa nyt lähemmin logiikan algebran peruslakeja:

1. Kommutatiiviset eli kommutatiiviset tilat, joiden mukaan loogisten termien paikkojen muuttaminen konjunktio- tai disjunktiooperaatioissa ei vaikuta tulokseen.

2. Assosiatiivinen tai assosiatiivinen. Tämän lain mukaan konjunktio- tai disjunktiooperaatioiden muuttujat voidaan yhdistää ryhmiin.

3. Jakelu tai jakelu. Lain ydin on, että yhtälöiden samat muuttujat voidaan ottaa pois suluista logiikkaa muuttamatta.

4. De Morganin laki (inversio tai negaatio). Konjunktiooperaation negaatio vastaa alkuperäisten muuttujien negaatiota. Disjunktion negaatio puolestaan ​​on yhtä suuri kuin samojen muuttujien negaatio.

5. Kaksoisnegatio. Tietyn lausunnon kieltäminen kahdesti johtaa alkuperäiseen lauseeseen, kolme kertaa - sen negatiiviseen.

6. Idempotenssilaki näyttää tältä loogiselle summaukselle: x v x v x v x = x; kertolasku: x^x^x^=x.

7. Ristiriitattomuuden laki sanoo: kaksi väitettä, jos ne ovat ristiriidassa, eivät voi olla tosia samaan aikaan.

8. Kolmannen poissulkemisen laki. Kahden ristiriitaisen väitteen joukossa toinen on aina totta, toinen on väärä, kolmatta ei anneta.

9. Absorption laki voidaan kirjoittaa näin loogista yhteenlaskua varten: x v (x ^ y) = x, kertolaskulle: x ^ (x v y) = x.

10. Liimauksen laki. Kaksi vierekkäistä konjunktia voivat tarttua yhteen muodostaen alemman tason konjunktion. Tässä tapauksessa muuttuja, jolla alkuperäiset konjunktiot liimattiin, katoaa. Esimerkki loogisesta lisäyksestä:

(x^y) v (-x^y)=y.

Olemme tarkastelleet vain logiikan algebran eniten käytettyjä lakeja, joita itse asiassa voi olla paljon enemmän, koska usein loogiset yhtälöt saavat pitkän ja koristeellisen muodon, jota voidaan pienentää soveltamalla useita samanlaisia ​​lakeja.

Yleensä käytetään erityisiä taulukoita tulosten laskemisen ja tunnistamisen helpottamiseksi. Kaikki olemassa olevat logiikan algebran lait, joiden taulukossa on ruudukon suorakulmion yleinen rakenne, on maalattu jakaen jokaisen muuttujan erilliseen soluun. Mitä suurempi yhtälö, sitä helpompi on käsitellä taulukoita.

Propositialgebran lait

Propositioiden algebra (logiikan algebra) on matemaattisen logiikan osa, joka tutkii lauseiden loogisia operaatioita ja monimutkaisten lauseiden muuntamisen sääntöjä.

Kun ratkaistaan ​​monia loogisia tehtäviä, on usein tarpeen yksinkertaistaa kaavoja, jotka on saatu formalisoimalla niiden ehdot. Lausealgebran kaavojen yksinkertaistaminen tapahtuu loogisiin peruslakeihin perustuvien ekvivalenttien muunnosten perusteella.

Propositioalgebran lait (logiikan algebra) ovat tautologioita.

Joskus näitä lakeja kutsutaan lauseiksi.

Propositioalgebrassa loogiset lait ilmaistaan ​​ekvivalenttien kaavojen yhtäläisyyksinä. Lakien joukossa erottuvat erityisesti ne, jotka sisältävät yhden muuttujan.

Ensimmäiset neljä seuraavista laeista ovat lausealgebran peruslakeja.

Identiteettilaki:

A=A

Jokainen käsite ja tuomio on identtinen itsensä kanssa.

Identiteettilaki tarkoittaa, että päättelyprosessissa ei voi korvata yhtä ajatusta toisella, käsitettä toisella. Jos tätä lakia rikotaan, loogiset virheet ovat mahdollisia.

Esimerkiksi perustelu Oikein sanoo, että kieli tuo sinut Kiovaan, mutta ostin eilen savukielen, mikä tarkoittaa, että nyt voin turvallisesti mennä Kiovaan väärin, koska ensimmäinen ja toinen sana "kieli" tarkoittavat eri käsitteitä.

Päättelyssä: Liike on ikuista. Koulussa käyminen on liikettä. Siksi ikuisesti kouluun menossa sanaa "liike" käytetään kahdessa eri merkityksessä (ensimmäinen - filosofisessa mielessä - aineen attribuuttina, toinen - tavallisessa merkityksessä - toimintona liikkua avaruudessa), mikä johtaa väärään johtopäätökseen.

Ristiriitaisuuden laki :

Samalla hetkellä väite voi olla joko tosi tai epätosi, kolmatta ei ole. Joko A on totta tai ei A. Esimerkkejä poissuljetun keskikohdan lain toteutuksesta:

1. Luku 12345 on joko parillinen tai pariton, kolmatta ei anneta.

2. Yritys toimii tappiolla tai nollatuloksella.

3. Tämä neste voi olla happoa tai ei.

Poissuljetun keskikohdan laki ei ole laki, jonka kaikki logiikot tunnustavat universaaliksi logiikan laiksi. Tämä laki pätee, kun kognitio käsittelee jäykkää tilannetta: "joko-tai", "tosi-epätosi". Siellä missä on epävarmuutta (esimerkiksi tulevaisuuden pohdinnassa), poissuljetun keskikohdan lakia ei useinkaan voida soveltaa.

Harkitse seuraavaa väitettä: Tämä lause on väärä. Se ei voi olla totta, koska se väittää olevansa väärä. Mutta se ei voi myöskään olla väärä, koska silloin se olisi totta. Tämä väite ei ole totta eikä tarua, ja siksi poissuljetun keskikohdan lakia rikotaan.

Paradoksi (kreikaksi paradoxos - odottamaton, outo) tässä esimerkissä syntyy siitä tosiasiasta, että lause viittaa itseensä. Toinen tunnettu paradoksi on parturiongelma: Yhdessä kaupungissa parturi leikkaa kaikkien asukkaiden hiukset, paitsi niillä, jotka leikkaavat itse hiuksensa. Kuka leikkaa parturin hiukset? Logiikassa sen muodollisuuden vuoksi ei ole mahdollista saada sellaisen itseviittaavan lausuman muotoa. Tämä vahvistaa jälleen kerran ajatuksen, että logiikan algebran avulla on mahdotonta ilmaista kaikkia mahdollisia ajatuksia ja argumentteja. Osoitetaan, kuinka lauseekvivalenssin määritelmän perusteella voidaan saada loput lausealgebran lait.

Määritetään esimerkiksi mikä on ekvivalentti (ekvivalentti) A (kaksoisnegatio A, eli negaation A negaatio). Tätä varten rakennamme totuustaulukon:

Vastaavuuden määritelmän mukaan meidän on löydettävä sarake, jonka arvot vastaavat sarakkeen A arvoja. Tämä on sarake A.

Siten voimme muotoilla kaksoisnegaation lain:

Jos kumoamme jonkin lauseen kahdesti, tuloksena on alkuperäinen lause. Esimerkiksi lausunto A = Matroskin - kissa on sama kuin A = Ei ole totta, että Matroskin ei ole kissa.

Samalla tavalla voidaan johtaa ja tarkistaa seuraavat lait:

Vakioominaisuudet:

Idempotenssin lait:

Ei väliä kuinka monta kertaa toistamme: televisio on päällä tai televisio on päällä tai televisio on päällä... lausunnon merkitys ei muutu. Samoin toistosta ulkona on lämmintä, ulkona lämmintä, ... ei tule astetta lämpimämmäksi.

Kommutatiivisuuden lait:

A v B = B v A

A & B = B & A

Operandit A ja B disjunktio- ja konjunktiooperaatioissa voidaan vaihtaa keskenään.

Assosiatiivisuuden lait:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Jos lauseke käyttää vain disjunktiooperaatiota tai vain konjunktiooperaatiota, voit jättää hakasulkeet huomioimatta tai järjestää ne mielivaltaisesti.

Jakelusäännöt:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributiivinen disjunktio
koskien konjunktiota)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(konjunktion distributiivisuus
disjunktion suhteen)

Disjunktion disjunktiolaki on samanlainen kuin algebran disjunktiolaki, mutta konjunktion disjunktiolakilla ei ole analogia, se pätee vain logiikassa. Siksi se on todistettava. Todistus tehdään parhaiten käyttämällä totuustaulukkoa:

Absorptiolainsäädäntö:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Todista absorptiolaki itse.

De Morganin lait:

De Morganin lakien sanalliset sanamuodot:

Mnemoninen sääntö: identiteetin vasemmalla puolella negaatiooperaatio on koko lauseen yläpuolella. Oikealla puolella se näyttää olevan rikki ja negaatio on jokaisen yksinkertaisen lauseen yläpuolella, mutta samalla operaatio muuttuu: disjunktio konjunktioon ja päinvastoin.

Esimerkkejä de Morganin lain täytäntöönpanosta:

1) Väite Ei ole totta, että osaan arabiaa tai kiinaa, on identtinen väittämän En osaa arabiaa ja en osaa kiinaa kanssa.

2) Väite Ei ole totta, että opin oppitunnin ja sain kakkosen siitä, että se on identtinen väitteen kanssa Joko en oppinut oppituntia tai en saanut siitä kakkosta.

Implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioiden korvaaminen

Implikaatio- ja ekvivalenssioperaatiot eivät toisinaan kuulu tietyn tietokoneen tai ohjelmointikielen kääntäjän loogisten toimintojen joukkoon. Nämä toiminnot ovat kuitenkin välttämättömiä monien ongelmien ratkaisemiseksi. On olemassa sääntöjä näiden operaatioiden korvaamiseksi negaatio-, disjunktio- ja konjunktiooperaatioilla.

Joten voit korvata implikaatiotoiminnon seuraavan säännön mukaisesti:

Vastaavuusoperaation korvaamiseen on kaksi sääntöä:

Näiden kaavojen pätevyys on helppo varmistaa rakentamalla totuustaulukot molempien identiteettien oikealle ja vasemmalle puolelle.

Implikaatio- ja ekvivalenssioperaatioiden korvaamissääntöjen tunteminen auttaa esimerkiksi rakentamaan oikein implikaation negaatiota.

Harkitse seuraavaa esimerkkiä.

Olkoon lausunto:

E = Ei ole totta, että jos voitan kilpailun, saan palkinnon.

Päästää A = Voitan kilpailun,

B = Saan palkinnon.

Sitten

Täältä, E = Voitan kilpailun, mutta en saa palkintoa.

Palata