Logika- nauka koja proučava zakone i oblike mišljenja; doktrina metoda rasuđivanja i dokaza.
Zakone svijeta, suštinu predmeta, zajedničko u njima, učimo kroz apstraktno mišljenje. Glavni oblici apstraktnog mišljenja su koncepti, sudovi i zaključci.
koncept- oblik mišljenja koji odražava bitne karakteristike pojedinačnog predmeta ili klase homogenih objekata. Pojmovi u jeziku izražavaju se riječima.
Obim koncepta- skup objekata, od kojih svaki ima atribute koji čine sadržaj koncepta. Razlikuju se koncepti opšteg i singularnog.
Obimom se razlikuju sljedeći odnosi koncepata:
- identitet ili podudarnost volumena, što znači da je zapremina jednog pojma jednaka zapremini drugog pojma;
- podređenosti ili uključivanje svezaka: volumen jednog od koncepata je u potpunosti uključen u volumen drugog;
- izuzetak sveske - slučaj u kojem ne postoji nijedna karakteristika koja bi bila u dva toma;
- raskrsnica ili delimična podudarnost volumena;
- podređenosti volumeni - slučaj kada su volumeni dva koncepta, isključujući jedan drugog, uključeni u volumen trećeg.
Osuda- ovo je oblik mišljenja u kojem se nešto potvrđuje ili negira o predmetima, znakovima ili njihovim odnosima.
zaključivanje- oblik mišljenja, kroz koji iz jednog ili više sudova, zvanih premise, mi, prema određenim pravilima zaključivanja, dobijamo sud-zaključak.
Algebra u širem smislu te riječi, nauka o općim operacijama sličnim sabiranju i množenju, koje se mogu izvoditi ne samo na brojevima, već i na drugim matematičkim objektima.
Primjeri algebra: algebra prirodnih brojeva, algebra racionalnih brojeva, algebra polinoma, algebra vektora, algebra matrica, algebra skupova itd. Objekti algebre logike ili Bulove algebre su propozicije.
izjava- ovo je svaka rečenica bilo kojeg jezika (izjava), čiji se sadržaj može odrediti kao istinit ili netačan.
Svaka tvrdnja je ili istinita ili lažna; ne može biti oboje u isto vrijeme.
U prirodnom jeziku, iskazi se izražavaju deklarativnim rečenicama. Uzvične i upitne rečenice nisu iskazi.
Tvrdnje se mogu izraziti matematičkim, fizičkim, hemijskim i drugim znakovima. Iz dva numerička izraza mogu se dati iskazi povezujući ih znakovima jednakosti ili nejednakosti.
Izjava se zove jednostavno(elementaran) ako nijedan njegov dio sam po sebi nije izjava.
Izjava sastavljena od jednostavnih iskaza se zove kompozitni(teško).
Jednostavni iskazi u algebri logike su označeni velikim latiničnim slovima:
ALI= (Aristotel je osnivač logike),
AT= (Banane rastu na stablima jabuke).
Opravdanje istinitosti ili neistinitosti jednostavnih izjava odlučuje se izvan algebre logike. Na primjer, istinitost ili netačnost tvrdnje: "Zbir uglova trougla je 180 stepeni" utvrđuje se geometrijom, i - u Euklidovoj geometriji ova izjava je tačna, a u geometriji Lobačevskog je netačna.
Tačnoj izjavi se dodeljuje 1, lažnoj - 0. Dakle, ALI = 1, AT = 0.
Algebra logike je apstrahirana od semantičkog sadržaja iskaza. Nju zanima samo jedna činjenica - dati iskaz je istinit ili netačan, što omogućava utvrđivanje istinitosti ili netačnosti složenih iskaza algebarskim metodama.
Osnovne operacije propozicione algebre.
Logička operacija CONJUNCTION(lat. conjunctio - vezujem):
- u prirodnom jeziku odgovara vezniku i;
- oznaka: & ;
- u programskim jezicima oznaka je: i;
- drugo ime: logičko množenje.
Konjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je istinit ako i samo ako su oba originalna iskaza tačna.
Konjunkcijska tabela istinitosti:
| ALI | AT | ALI&AT |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Logička operacija DISJUNKCIJA(lat. disjunctio - razlikujem):
Disjunkcija je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je netačan ako i samo ako su oba izvorna iskaza lažna i istinita kada je barem jedan od dva iskaza koji ga formiraju istinit.
Disjunkciona tabela istinitosti:
| ALI | AT | ALIAT |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Logička operacija INVERSE(lat. inversio - okretanje):
Negacija je logička operacija koja povezuje svaki jednostavan iskaz sa složenim iskazom, koji se sastoji u činjenici da je originalni iskaz negiran.
Tabela negativne istine:
| ALI | ne A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Funkcija logičkog sabiranja OR (LogValue1;LogValue2;…) daje vrijednost TRUE (True) samo kada je barem jedan logički argument TRUE (1).
Funkcija logičke negacije NOT(LogValue) daje vrijednost TRUE (True) kada je logički argument FALSE (0) i, obrnuto, vrijednost FALSE (False) kada je logički argument TRUE (1).
Logička operacija IMPLIKACIJA(lat. implicatio - blisko sam saradnik):
Implikacija je logička operacija koja povezuje svaka dva jednostavna iskaza sa složenim iskazom koji je netačan ako i samo ako je uvjet (prva izjava) tačan, a posljedica (druga izjava) netačna.
Tabela istinitosti implikacija:
| ALI | AT | ALIAT |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Logička operacija EQUIVALENCE(lat. aequivalens - ekvivalent):
- u prirodnom jeziku odgovara okretima govora tada i samo tada i ako i samo ako;
- oznaka: ~ ;
- drugo ime: ekvivalencija.
Ekvivalencija je logička operacija koja svakoj dvije jednostavne izjave dodjeljuje složenu izjavu koja je istinita ako i samo ako su oba originalna iskaza oba tačna ili oba lažna.
Tabela istine ekvivalencije:
| ALI | AT | ALI~AT |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Logičke operacije imaju sljedeći prioritet: akcije u zagradama, inverzija, &, , ~.
Tabela koja pokazuje koje vrijednosti složeni izraz uzima za sve kombinacije (skupove) vrijednosti njegovih jednostavnih iskaza naziva se tabela istine složeni iskaz.
Složeni iskazi u algebri logike pišu se pomoću logičkih izraza. Za bilo koji logički izraz, dovoljno je jednostavno napraviti tabelu istinitosti.
Algoritam za konstruisanje tabele istinitosti:
- prebrojati broj varijabli n u logičkom izrazu;
- odrediti broj redova u tabeli m = 2 n ;
- izbrojati broj logičkih operacija u formuli;
- uspostaviti redoslijed izvođenja logičkih operacija, uzimajući u obzir zagrade i prioritete;
- odrediti broj kolona u tabeli: broj varijabli plus broj operacija;
- ispisati skupove ulaznih varijabli, uzimajući u obzir činjenicu da su oni prirodni niz n-bitnih binarnih brojeva od 0 do 2 n -1;
- popuniti tabelu istinitosti po kolonama, izvodeći logičke operacije u skladu sa redosledom utvrđenim u tački 4.
Skupove ulaznih varijabli, kako bi se izbjegle greške, preporučuje se navesti na sljedeći način:
a) odrediti broj skupova ulaznih varijabli;
b) kolonu vrijednosti prve varijable podijelite na pola i gornji dio kolone popunite sa 0, a donji dio sa -1;
c) podijelite kolonu vrijednosti druge varijable na četiri dijela i popunite svaki kvartal naizmjeničnim grupama od 0 ili 1, počevši od grupe 0;
d) nastavite dijeliti stupce vrijednosti narednih varijabli sa 8, 16 itd. dijelove i popunjavajući ih grupama 0 ili 1 sve dok grupe 0 i 1 ne budu sastavljene od jednog znaka.
Primjer. Za formulu A&(B C), konstruirajte tabelu istinitosti algebarski i koristeći proračunske tablice.
Broj logičkih varijabli je 3, stoga broj redova u tabeli istinitosti treba da bude 2 3 = 8.
Broj logičkih operacija u formuli je 5, stoga broj stupaca u tablici istinitosti treba biti 3 + 5 = 8.
| ALI | AT | C | ATC | ALI & (ATC) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Boolean funkcija pozovite funkciju F(X 1, X 2, ..., X n), čiji argumenti X 1, X 2, ..., X n(nezavisne varijable) i sama funkcija (zavisna varijabla) uzimaju vrijednosti 0 ili 1.
Tablica koja pokazuje koje vrijednosti logička funkcija preuzima za sve kombinacije vrijednosti njenih argumenata naziva se tabela istinitosti logičke funkcije. Tabela istinitosti logičke funkcije n argumenti sadrže 2 n linije, n stupci vrijednosti argumenta i 1 stupac vrijednosti funkcije.
Logičke funkcije se mogu specificirati tabelarno ili analitički - u obliku odgovarajućih formula.
Ako se logička funkcija predstavlja pomoću disjunkcija, konjunkcija i inverzija, onda se ovaj oblik reprezentacije naziva normalno.
Postoji 16 različitih logičkih funkcija iz dvije varijable.
Boolean izrazi pozvao ekvivalentno, ako se njihove istinite vrijednosti podudaraju za bilo koje vrijednosti logičkih varijabli uključenih u njih.
U algebri logike postoji niz zakona koji dozvoljavaju ekvivalentne transformacije logičkih izraza. Predstavimo odnose koji odražavaju ove zakone.
- Zakon dvostruke negacije:
nije (ne A) = A.
Dvostruka negacija isključuje negaciju. - Komutativni (komutativni) zakon:
- za logično sabiranje:
A B = B A;
A&B=B&A.Rezultat operacije nad naredbama ne zavisi od redosleda kojim se ti izrazi uzimaju.
- Asocijativno (asocijativno) pravo:
- za logično sabiranje:
(A B) C = A (B C);Za logičko množenje:
(A & B) & C = A & (B & C).Uz iste znakove, zagrade se mogu postaviti proizvoljno ili čak izostaviti.
- Distributivni (distributivni) zakon:
- za logično sabiranje:
(A B) & C = (A & C) (B & C);Za logičko množenje:
(A & B) C = (A C) & (B C).Definira pravilo za stavljanje općih iskaza u zagrade.
- Zakon opšte inverzije (de Morganovi zakoni):
- za logično sabiranje:
;Za logičko množenje:
. - Zakon idempotencije (od latinskih riječi idem - isti i potens - jak; doslovno - ekvivalent):
- za logično sabiranje:
A A = A;Za logičko množenje:
A&A=A.Zakon znači da nema eksponenta.
- Zakoni o stalnom isključenju:
- za logično sabiranje:
A 1 = 1, A 0 = A;Za logičko množenje:
A&1 = A, A&0 = 0. - Zakon kontradikcije:
A & (ne A) = 0.Nemoguće je da kontradiktorne izjave budu istinite u isto vrijeme.
- Zakon o isključenju trećeg:
A (ne A) = 1.Od dvije kontradiktorne tvrdnje o istoj temi, jedna je uvijek tačna, a druga lažna, treća nije data.
- Zakon apsorpcije:
- za logično sabiranje:
A(A&B)=A;Za logičko množenje:
A & (A B) = A. - Zakon isključenja (lepljenja):
- za logično sabiranje:
(A & B) (& B) = B;Za logičko množenje:
(A B) & (B) = B. - Zakon kontrapozicije (pravilo preokreta):
(AB) = (BA).Valjanost gornjih zakona može se dokazati na tabelarni način: napišite sve skupove vrijednosti A i B, izračunajte vrijednosti lijevog i desnog dijela izraza koji se na njima dokazuje i uvjerite se da rezultirajuće kolone se podudaraju.
Primjer. Pojednostavite logički izraz:
- Efimova O., Morozov V., Ugrinovič N. Kurs računarske tehnologije sa osnovama informatike. Udžbenik za starije razrede. - M.: DOO "AST Izdavačka kuća"; ABF, 2000
- Zadatak-radionica iz informatike. U 2 toma / Ed. I.Semakina, E.Khenner. - M.: Laboratorija za osnovna znanja, 2001
- Ugrinovich N. Informatika i informacione tehnologije. 10-11 razred - M.: Laboratorija za osnovna znanja, JSC "Moskovski udžbenici", 2001.
Zadaci i testovi na temu "Osnove formalne logike"
- Pristup DBMS logici - Logički i matematički modeli 10. razred
Lekcije: 5 zadataka: 9 kvizova: 1
- Rješavanje logičkih problema pomoću matematičke logike
Lekcije: 4 Zadaci: 6 Testovi: 1
Dragi studente!
Rad 1 predstavlja tri teme koje čine osnovu predmeta „Informacione tehnologije“. Nadamo se da već imate minimalno iskustvo sa računarom i da ste se sa njegovim uređajem upoznali u srednjoj školi.
Tema "Kompjuterske komunikacije. Internet" je veoma interesantna u posljednje vrijeme, mnogi mladi ljudi gotovo sve svoje slobodno vrijeme provode u globalnoj mreži. Podsjećam da ovladavanje internetom podrazumijeva ne samo sposobnost „surfanja“ mrežom i s vremena na vrijeme posjetiti zanimljive „čatove“, već i razumijevanje principa organizovanja informacija u globalnoj mreži, razumijevanje njene strukture, protokole, biti u stanju da konfiguriše pretraživač i e-mail programe, da poznaje i poštuje etiku rada na Internetu, i naravno da koristi mrežu za njenu najvažniju svrhu – širenje vidika.
U ovom kursu nismo obrađivali tehnologiju izrade web stranica, smatrajući da se minimalno znanje za izradu web početne stranice može izvući iz dodatne literature. Izrada sajtova na profesionalnom nivou zahteva određenu obuku, koja se zasniva na veštinama rada sa tekstom i grafikom, kao i na sposobnosti programiranja.
Tema "Logika" obično izaziva konfuziju među studentima, ne shvataju svi važnost proučavanja ove teme. Napominjem da je poznavanje logike važno ne samo kao osnova za dalje proučavanje programskih jezika i principa rada sa bazama podataka, već i kao "simulator" za razvoj posebne vrste mišljenja. Osoba koja se ističe u proučavanju logike ima ogromne prednosti u komunikaciji. Veoma je laskavo čuti u Vašem obraćanju: „Logično je“, „ima logike u tvom rasuđivanju“.
Čas informatike namijenjen je učenicima 10. razreda opšteobrazovne škole, čiji nastavni plan uključuje dio „Algebra logike“. Ova tema je veoma teška za učenike, pa sam kao nastavnik želeo da ih zainteresujem da proučavaju zakone logike, pojednostavljuju logičke izraze i sa interesovanjem pristupaju rešavanju logičkih zadataka. U uobičajenom obliku, držanje lekcija na ovu temu je zamorno i problematično, a neke definicije djeci nisu uvijek jasne. U vezi sa obezbjeđivanjem informativnog prostora, imao sam priliku da svoje lekcije postavim u ljusku za učenje. Učenici, nakon što su se prijavili, mogu u slobodno vrijeme pohađati ovaj kurs i ponovo pročitati ono što mu nije bilo jasno na lekciji. Neki učenici, koji su zbog bolesti propustili nastavu, nadoknađuju propuštenu temu kod kuće ili u školi i uvijek su spremni za sljedeći čas. Ovakav oblik nastave itekako je odgovarao brojnoj djeci, a oni zakoni koji su im bili nerazumljivi sada se mnogo lakše i brže uče u kompjuterskom obliku. Nudim jednu od ovih lekcija iz informatike, koja se izvodi integrativno sa IKT.
Plan lekcije
- Objašnjenje novog gradiva, uz učešće računara - 25 minuta.
- Osnovni koncepti i definicije izloženi u "učenju" - 10 minuta.
- Materijal za radoznale - 5 minuta.
- Domaća zadaća - 5 minuta.
1. Objašnjenje novog materijala
Zakoni formalne logike
Najjednostavnije i najneophodnije prave veze između misli izražene su u osnovnim zakonima formalne logike. To su zakoni identiteta, nekontradikcije, isključene sredine, dovoljnog razloga.
Ovi zakoni su fundamentalni jer u logici igraju posebno važnu ulogu, oni su najopštiji. Oni vam omogućavaju da pojednostavite logičke izraze i izgradite zaključke i dokaze. Prva tri od navedenih zakona identifikovao je i formulisao Aristotel, a zakon dovoljnog razloga - G. Leibniz.
Zakon identiteta: u procesu određenog rasuđivanja svaki pojam i sud moraju biti identični sami sebi.
Zakon nekontradikcije: nemoguće je da jedno te isto oko u isto vrijeme bude i ne bude svojstveno istoj stvari u istom pogledu. Odnosno, nemoguće je u isto vrijeme nešto potvrditi i poreći.
Zakon isključene sredine: od dvije kontradiktorne tvrdnje, jedna je istinita, druga je lažna, a treća nije data.
Zakon dovoljnog razloga: Svaka istinita misao mora biti dovoljno opravdana.
Posljednji zakon kaže da dokaz nečega pretpostavlja opravdanje tačno i samo istinitih misli. Lažne misli se ne mogu dokazati. Postoji dobra latinska poslovica: "Griješiti je uobičajeno za svakog čovjeka, ali samo budala treba insistirati na grešci." Ne postoji formula za ovaj zakon, jer ima samo materijalni karakter. Pravi sudovi, činjenični materijal, statistički podaci, zakoni nauke, aksiomi, dokazane teoreme mogu se koristiti kao argumenti za potvrdu istinite misli.
Zakoni propozicione algebre
Algebra propozicija (algebra logike) je dio matematičke logike koji proučava logičke operacije nad propozicijama i pravila za transformaciju složenih propozicija.
Prilikom rješavanja mnogih logičkih problema često je potrebno pojednostaviti formule dobijene formalizacijom njihovih uslova. Pojednostavljenje formula u algebri iskaza vrši se na osnovu ekvivalentnih transformacija zasnovanih na osnovnim logičkim zakonima.
Zakoni algebre propozicija (algebra logike) su tautologije.
Ponekad se ovi zakoni nazivaju teoremama.
U propozicionoj algebri, logički zakoni se izražavaju kao jednakost ekvivalentnih formula. Među zakonima se posebno izdvajaju oni koji sadrže jednu varijablu.
Prva četiri od sljedećih zakona su osnovni zakoni propozicione algebre.
Zakon o identitetu:
Svaki pojam i sud je identičan sebi.
Zakon identiteta znači da se u procesu zaključivanja ne može zamijeniti jedna misao drugom, jedan koncept drugim. Ako se prekrši ovaj zakon, moguće su logičke greške.
Na primjer, diskusija Tačno kažu da će te jezik dovesti u Kijev, ali ja sam juče kupio dimljeni jezik, što znači da sada mogu bezbedno da idem u Kijev netačno, jer prva i druga riječ "jezik" označavaju različite koncepte.
U raspravi: Kretanje je vječno. Polazak u školu je pokret. Dakle, polazak u školu je zauvek riječ "kretanje" koristi se u dva različita značenja (prvi - u filozofskom smislu - kao atribut materije, drugi - u običnom smislu - kao radnja kretanja u prostoru), što dovodi do pogrešnog zaključka.
Zakon neprotivrečnosti:
Propozicija i njena negacija ne mogu biti istiniti u isto vrijeme. Odnosno, ako je izjava ALI je istinito, onda njegova negacija ne A mora biti netačan (i obrnuto). Tada će njihov proizvod uvijek biti lažan.
Upravo se ta jednakost često koristi kada se pojednostavljuju složeni logički izrazi.
Ponekad se ovaj zakon formuliše na sljedeći način: dvije izjave koje su jedna drugoj u suprotnosti ne mogu biti istinite u isto vrijeme. Primjeri nepoštivanja zakona protivrečnosti:
1. Ima života na Marsu i nema života na Marsu.
2. Olya je završila srednju školu i ide u 10. razred.
Zakon isključene sredine:
U istom trenutku, izjava može biti istinita ili lažna, trećeg nema. Tačno bilo ALI, ili ne A. Primjeri primjene zakona isključene sredine:
1. Broj 12345 je paran ili neparan, trećeg nema.
2. Kompanija posluje sa gubitkom ili rentabilnošću.
3. Ova tečnost može ili ne mora biti kiselina.
Zakon isključene sredine nije zakon koji svi logičari priznaju kao univerzalni zakon logike. Ovaj zakon se primjenjuje tamo gdje se znanje bavi krutom situacijom: "ili - ili", "tačno-netačno". Tamo gdje postoji neizvjesnost (na primjer, u razmišljanju o budućnosti), zakon isključene sredine često se ne može primijeniti.
Razmotrite sljedeću izjavu: Ova sugestija je lažna. To ne može biti istinito jer tvrdi da je lažno. Ali ni to ne može biti lažno, jer bi onda bilo istinito. Ova tvrdnja nije ni tačna ni lažna, pa je stoga prekršen zakon isključene sredine.
Paradoks(grč. paradoxos - neočekivan, čudan) u ovom primjeru proizlazi iz činjenice da se rečenica odnosi na samu sebe. Još jedan poznati paradoks je problem frizera: U jednom gradu frizer šiša sve stanovnike, osim onih koji sami šišaju kosu. Ko šiša frizera? U logici, zbog svoje formalnosti, nije moguće dobiti oblik takvog samoreferencijalnog iskaza. Ovo još jednom potvrđuje ideju da je uz pomoć algebre logike nemoguće izraziti sve moguće misli i argumente. Hajde da pokažemo kako se, na osnovu definicije iskazne ekvivalencije, mogu dobiti ostali zakoni propozicione algebre.
Na primjer, hajde da definiramo šta je ekvivalentno (ekvivalentno) ALI(dva puta br ALI, tj. negacija negacije ALI). Da bismo to uradili, napravićemo tabelu istine:
Po definiciji ekvivalencije, moramo pronaći kolonu čije vrijednosti odgovaraju vrijednostima kolone ALI. Ovo će biti kolona ALI.
Dakle, možemo formulisati dvostruki zakonnegacije:
Ako dvaput negiramo neki iskaz, onda je rezultat originalni iskaz. Na primjer, izjava ALI= Matroskin- mačka je ekvivalentno reći O = Nije tačno da Matroskin nije mačka.
Slično, sljedeći zakoni se mogu izvesti i provjeriti:
Konstantna svojstva:
Zakoni idempotencije:
Bez obzira koliko puta ponavljamo: TV uključen ili TV uključen ili TV uključen... značenje rečenice se neće promeniti. Isto tako od ponavljanja Napolju je toplo, napolju je toplo... ni stepen toplije.
Zakoni komutativnosti:
A v B = B v A
A & B = B & A
operandi ALI i AT u operacijama disjunkcije i konjunkcije mogu se zamijeniti.
Zakoni asocijativnosti:
A v(B v C) = (A v B) v C;
A & (B & C) = (A & B) & C.
Ako izraz koristi samo operaciju disjunkcije ili samo operaciju konjunkcije, tada možete zanemariti zagrade ili ih proizvoljno rasporediti.
Zakoni o distribuciji:
A v (B & C) = (A v B) &(A v C)
(distributivna disjunkcija
u vezi veznika)
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
(distributivnost veznika
u vezi disjunkcije)
Distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju sličan je distributivnom zakonu u algebri, ali zakon distributivne disjunkcije u odnosu na konjunkciju nema analoga, on vrijedi samo u logici. Stoga to treba dokazati. Dokaz je najbolje izvesti pomoću tabele istinitosti:
Zakoni apsorpcije:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Provedite sami dokaz zakona o apsorpciji.
De Morganovi zakoni:
Verbalne formulacije de Morganovih zakona:
Mnemoničko pravilo: na lijevoj strani identiteta, operacija negacije stoji iznad cijelog iskaza. Na desnoj strani izgleda da je slomljena i negacija stoji iznad svakog od jednostavnih iskaza, ali se u isto vrijeme operacija mijenja: disjunkcija u konjunkciju i obrnuto.
Primjeri implementacije de Morganovog zakona:
1) Izjava Nije tačno da znam arapski ili kineski je identična izjavi Ne znam arapski i ne znam kineski.
2) Izjava Nije istina da sam naučio lekciju i dobio D je identična izjavi Ili nisam naučio lekciju, ili nisam dobio peticu.
Zamjena operacija implikacije i ekvivalencije
Operacije implikacije i ekvivalencije ponekad nisu među logičkim operacijama određenog računara ili kompajlera iz programskog jezika. Međutim, ove operacije su neophodne za rješavanje mnogih problema. Postoje pravila za zamjenu ovih operacija nizovima operacija negacije, disjunkcije i konjunkcije.
Dakle, zamijenite operaciju implikacije moguće prema sljedećem pravilu:
Za zamjenu operacije ekvivalencija postoje dva pravila:
Lako je provjeriti valjanost ovih formula konstruiranjem tablica istinitosti za desnu i lijevu stranu oba identiteta.
Poznavanje pravila za zamjenu operacija implikacije i ekvivalencije pomaže, na primjer, da se ispravno konstruiše negacija implikacije.
Razmotrite sljedeći primjer.
Neka se da izjava:
E = Nije tačno da ću dobiti nagradu ako pobijedim na takmičenju.
Neka ALI= Ja ću pobijediti na takmičenju
B = Dobiću nagradu.
Dakle, E = ja ću pobijediti na takmičenju, ali neću dobiti nagradu.
Zanimljiva su i sljedeća pravila:
Njihovu validnost možete dokazati i pomoću tablica istinitosti.
Zanimljivo je njihovo izražavanje na prirodnom jeziku.
Na primjer, fraza
Ako je Winnie the Pooh jeo med, onda je sit
je identična frazi
Ako Winnie the Pooh nije sit, onda nije jeo med.
vježba: razmislite o frazama-primjerima o ovim pravilima.
2. Osnovni pojmovi i definicije u Aneksu 1
3. Materijal za radoznale u Dodatku 2
4. Domaći
1) Naučite zakone logike koristeći kurs Algebra logike koji se nalazi u informacionom prostoru (www.learning.9151394.ru).
2) Provjerite dokaz De Morganovih zakona na PC-u tako što ćete konstruirati tabelu istinitosti.
Prijave
- Osnovni koncepti i definicije (
§četiri. Ekvivalentne, TI i TL formule algebre logike. Osnovne ekvivalencije. (Zakoni logičkih operacija). Zakon dualnosti.
Definicija.
Dvije formule algebre logike A i B nazivaju se EKVIVALENTNE ako imaju iste logičke vrijednosti na bilo kojem skupu elementarnih propozicija uključenih u formule. Ekvivalentnost formula će biti označena znakom º, a oznaka A ºB znači da su formule A i B ekvivalentne.
Formula A se naziva IDENTIČNO ISTINA (ili TAUTOLOGIJA) ako uzima vrijednost 1 za sve vrijednosti varijabli uključenih u nju.
Formula se naziva IDENTIČNO LAŽNA (ili KONTRADIKCIJA) ako uzima vrijednost 0 za sve vrijednosti varijabli uključenih u nju.
Postoji sljedeća veza između pojmova ekvivalencije i ekvivalencije: ako su formule A i B ekvivalentne, onda je formula A"B tautologija, i obrnuto, ako je formula A"B tautologija, tada su formule A i B su ekvivalentni.
Najvažnije ekvivalencije algebre logike mogu se podijeliti u tri grupe.
1. Osnovne ekvivalencije.
Zakoni idempotencije.
Zakon protivrečnosti
Zakon isključene sredine
dvostruki negativni zakon
zakoni apsorpcije
2. Ekvivalencije koje izražavaju neke logičke operacije u terminima drugih.
Ovdje 3, 4, 5, 6 su Morganovi zakoni.
Jasno je da se ekvivalentnosti 5 i 6 dobijaju iz ekvivalencija 3 i 4, respektivno, ako uzmemo negacije iz oba dijela potonjeg i koristimo zakon uklanjanja dvostrukih negacija.
Dakle, prve četiri ekvivalencije trebaju dokaz. Dokažimo jednu od njih: prvu.
Budući da su za iste logičke vrijednosti x i y formule istinite https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Stoga, u u ovom slučaju, oba dijela ekvivalencije imaju istu pravu vrijednost.
Neka sada x i y imaju različite logičke vrijednosti. Tada će ekvivalencija i jedna od dvije implikacije ili biti netačna. Ali u isto vrijeme, konjunkcija će također biti lažna. 
.
Dakle, u ovom slučaju, oba dijela ekvivalencije imaju isto logičko značenje.
Slično se dokazuju ekvivalentnosti 2 i 4.
Iz ekvivalentnosti ove grupe slijedi da se bilo koja formula algebre logike može zamijeniti formulom koja joj je ekvivalentna, koja sadrži samo dvije logičke operacije: konjunkciju i negaciju ili disjunkciju i negaciju.
Dalje isključivanje logičkih operacija nije moguće. Dakle, ako koristimo samo konjunkciju, onda se takva formula kao što je negacija ne može izraziti operacijom veznika.
Međutim, postoje operacije pomoću kojih se može izraziti bilo koja od pet logičkih operacija koje koristimo. Takva operacija je, na primjer, operacija “Schaefferov moždani udar”. Ova operacija je označena simbolom ½ lijevo " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">
Savremeni računari zasnovani na "drevnim" elektronskim računarima baziraju se na određenim postulatima kao osnovnim principima rada. Zovu se zakoni algebre logike. Po prvi put je takvu disciplinu opisao (naravno, ne toliko detaljno kao u njenom modernom obliku) starogrčki naučnik Aristotel.
Predstavljajući zasebnu granu matematike, u okviru koje se proučava propozicioni račun, algebra logike ima niz dobro definisanih zaključaka i zaključaka.
Kako bismo bolje razumjeli temu, analizirat ćemo koncepte koji će u budućnosti pomoći u učenju zakona algebre logike.
Možda je glavni pojam u disciplini koja se proučava izjava. Ovo je izjava koja ne može biti i lažna i istinita u isto vrijeme. On uvek ima samo jednu od ovih karakteristika. Istovremeno, konvencionalno je prihvaćeno da se vrijednost 1 daje istini, 0 neistini, a sam iskaz se naziva nekom vrstom A, B, C. Drugim riječima, formula A=1 znači da je izjava A tačno. Izrazi se mogu rukovati na različite načine. Razmotrimo ukratko radnje koje se mogu izvršiti s njima. Imajte na umu da se zakoni algebre logike ne mogu savladati bez poznavanja ovih pravila.
1. Disjunkcija dvije izjave - rezultat operacije "ili". Može biti ili lažno ili tačno. Koristi se znak "v".
2. Veznik. Rezultat takve radnje, izvedene s dvije propozicije, bit će novi samo ako su obje originalne propozicije istinite. Koristi se operacija "i", simbol "^".
3. Implikacije. Operacija "Ako A, onda B". Rezultat je izjava koja je lažna samo ako je A istinito, a B netačno. Koristi se simbol "->".
4. Ekvivalencija. Operacija "A ako i samo ako B kada". Ova izjava je tačna ako obje varijable imaju istu vrijednost. simbol "<->».
Postoji i niz operacija koje su bliske implikaciji, ali one neće biti razmatrane u ovom članku.
Sada pogledajmo pobliže osnovne zakone algebre logike:
1. Komutativno ili komutativno navodi da promjena mjesta logičkih pojmova u operacijama konjunkcije ili disjunkcije ne utiče na rezultat.
2. Asocijativni ili asocijativni. Prema ovom zakonu, varijable u operacijama konjunkcije ili disjunkcije mogu se kombinovati u grupe.
3. Distribucija ili distribucija. Suština zakona je da se iste varijable u jednadžbi mogu izvući iz zagrada bez promjene logike.
4. De Morganov zakon (inverzija ili negacija). Negacija operacije konjunkcije je ekvivalentna disjunkciji negacije originalnih varijabli. Negacija disjunkcije je, pak, jednaka konjunkciji negacije istih varijabli.
5. Dvostruka negacija. Negiranje određenog iskaza dva puta rezultira originalnim iskazom, tri puta - njegovom negacijom.
6. Zakon idempotencije izgleda ovako za logičko sabiranje: x v x v x v x = x; za množenje: x^x^x^=x.
7. Zakon neprotivrečnosti kaže: dve izjave, ako su kontradiktorne, ne mogu biti istinite u isto vreme.
8. Zakon o isključenju trećeg. Među dve kontradiktorne tvrdnje, jedna je uvek tačna, druga netačna, treća nije data.
9. Zakon apsorpcije se može napisati na ovaj način za logičko sabiranje: x v (x ^ y) = x, za množenje: x ^ (x v y) = x.
10. Zakon lijepljenja. Dva susjedna veznika mogu se spojiti i formirati konjunkciju nižeg ranga. U ovom slučaju, varijabla kojom su zalijepljeni izvorni veznici nestaje. Primjer za logičko sabiranje:
(x^y) v (-x^y)=y.
Razmotrili smo samo najčešće korištene zakone algebre logike, kojih u stvari može biti mnogo više, jer često logičke jednadžbe poprimaju dug i kitnjast oblik, koji se može reducirati primjenom niza sličnih zakona.
U pravilu se koriste posebne tablice radi lakšeg brojanja i identifikacije rezultata. Svi postojeći zakoni algebre logike, čija tablica ima opću strukturu mrežnog pravougaonika, oslikani su, raspoređujući svaku varijablu u zasebnu ćeliju. Što je jednadžba veća, lakše je nositi se s korištenjem tablica.
Zakoni propozicione algebre
Algebra propozicija (algebra logike) je dio matematičke logike koji proučava logičke operacije nad propozicijama i pravila za transformaciju složenih propozicija.
Prilikom rješavanja mnogih logičkih problema često je potrebno pojednostaviti formule dobijene formalizacijom njihovih uslova. Pojednostavljenje formula u algebri iskaza vrši se na osnovu ekvivalentnih transformacija zasnovanih na osnovnim logičkim zakonima.
Zakoni propozicionalne algebre (algebra logike) su tautologije.
Ponekad se ovi zakoni nazivaju teoremama.
U propozicionoj algebri, logički zakoni se izražavaju kao jednakost ekvivalentnih formula. Među zakonima se posebno izdvajaju oni koji sadrže jednu varijablu.
Prva četiri od sljedećih zakona su osnovni zakoni propozicione algebre.
Zakon o identitetu:
A=A
Svaki pojam i sud je identičan sebi.
Zakon identiteta znači da se u procesu zaključivanja ne može zamijeniti jedna misao drugom, jedan koncept drugim. Ako se prekrši ovaj zakon, moguće su logičke greške.
Na primjer, obrazloženje Ispravno kaže da će vas jezik dovesti u Kijev, ali jučer sam kupio dimljeni jezik, što znači da sada mogu sigurno ići u Kijev pogrešno, jer prva i druga riječ "jezik" označavaju različite koncepte.
U obrazloženju: Kretanje je vječno. Polazak u školu je pokret. Stoga se, polazak u školu zauvek, reč "kretanje" koristi u dva različita značenja (prvi - u filozofskom smislu - kao atribut materije, drugi - u običnom smislu - kao radnja kretanja u prostoru), što dovodi do lažnog zaključka.
Zakon neprotivrečnosti :
U istom trenutku, izjava može biti istinita ili lažna, trećeg nema. Ili je A tačno ili nije A. Primjeri implementacije zakona isključene sredine:
1. Broj 12345 je paran ili neparan, treći nije dat.
2. Preduzeće posluje sa gubitkom ili rentabilnošću.
3. Ova tečnost može, ali i ne mora biti kiselina.
Zakon isključene sredine nije zakon koji svi logičari priznaju kao univerzalni zakon logike. Ovaj zakon se primjenjuje tamo gdje se spoznaja bavi krutom situacijom: "ili-ili", "istinito-netačno". Tamo gdje postoji neizvjesnost (na primjer, u razmišljanju o budućnosti), zakon isključene sredine često se ne može primijeniti.
Razmotrite sljedeću izjavu: Ova rečenica je netačna. To ne može biti istinito jer tvrdi da je lažno. Ali ni to ne može biti lažno, jer bi onda bilo istinito. Ova tvrdnja nije ni tačna ni lažna, pa je stoga prekršen zakon isključene sredine.
Paradoks (grč. paradoxos - neočekivan, čudan) u ovom primjeru proizlazi iz činjenice da se rečenica odnosi na samu sebe. Još jedan dobro poznati paradoks je problem berberina: u jednom gradu berberin šiša sve stanovnike, osim onih koji sami šišaju kosu. Ko šiša frizera? U logici, zbog svoje formalnosti, nije moguće dobiti oblik takvog samoreferencijalnog iskaza. Ovo još jednom potvrđuje ideju da je uz pomoć algebre logike nemoguće izraziti sve moguće misli i argumente. Hajde da pokažemo kako se, na osnovu definicije iskazne ekvivalencije, mogu dobiti ostali zakoni propozicione algebre.
Na primjer, odredimo šta je ekvivalentno (ekvivalentno) A (dvostruka negacija A, tj. negacija negacije A). Da bismo to uradili, napravićemo tabelu istinitosti:
Po definiciji ekvivalencije, moramo pronaći kolonu čije vrijednosti odgovaraju vrijednostima stupca A. Ovo će biti stupac A.
Dakle, možemo formulisati zakon dvostruke negacije:
Ako dvaput negiramo neki iskaz, onda je rezultat originalni iskaz. Na primjer, izjava A = Matroskin - kat je ekvivalentno A = Nije tačno da Matroskin nije mačka.
Slično, sljedeći zakoni se mogu izvesti i provjeriti:
Konstantna svojstva:
Zakoni idempotencije:
Bez obzira koliko puta ponavljamo: TV je uključen ili TV uključen ili TV uključen... značenje izjave se neće promijeniti. Slično, od ponavljanja napolju je toplo, napolju je toplo, ... neće postati ni za jedan stepen toplije.
Zakoni komutativnosti:
A v B = B v A
A & B = B & A
Operandi A i B u operacijama disjunkcije i konjunkcije mogu se zamijeniti.
Zakoni asocijativnosti:
A v(B v C) = (A v B) v C;
A & (B & C) = (A & B) & C.
Ako izraz koristi samo operaciju disjunkcije ili samo operaciju konjunkcije, tada možete zanemariti zagrade ili ih proizvoljno rasporediti.
Zakoni o distribuciji:
A v (B & C) = (A v B) &(A v C)
(distributivna disjunkcija
u vezi veznika)
A & (B v C) = (A & B) v (A & C)
(distributivnost veznika
u vezi disjunkcije)
Distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju sličan je distributivnom zakonu u algebri, ali zakon distributivne disjunkcije u odnosu na konjunkciju nema analoga, on vrijedi samo u logici. Stoga to treba dokazati. Dokaz je najbolje izvesti pomoću tabele istinitosti:
Zakoni apsorpcije:
A v (A & B) = A
A & (A v B) = A
Provedite sami dokaz zakona o apsorpciji.
De Morganovi zakoni:
Verbalne formulacije de Morganovih zakona:
Mnemoničko pravilo: na lijevoj strani identiteta, operacija negacije je iznad cijelog iskaza. Na desnoj strani izgleda da je slomljena i negacija stoji iznad svakog od jednostavnih iskaza, ali se u isto vrijeme operacija mijenja: disjunkcija u konjunkciju i obrnuto.
Primjeri implementacije de Morganovog zakona:
1) Tvrdnja Nije tačno da znam arapski ili kineski je identična tvrdnji Ne znam arapski i ne znam kineski.
2) Tvrdnja Nije tačno da sam naučio lekciju i dobio dvojku jer je identična tvrdnji Ili nisam naučio lekciju, ili nisam dobio dvojku za to.
Zamjena operacija implikacije i ekvivalencije
Operacije implikacije i ekvivalencije ponekad nisu među logičkim operacijama određenog računara ili kompajlera iz programskog jezika. Međutim, ove operacije su neophodne za rješavanje mnogih problema. Postoje pravila za zamjenu ovih operacija nizovima operacija negacije, disjunkcije i konjunkcije.
Dakle, možete zamijeniti operaciju implikacije u skladu sa sljedećim pravilom:
Postoje dva pravila za zamjenu operacije ekvivalencije:
Lako je provjeriti valjanost ovih formula konstruiranjem tablica istinitosti za desnu i lijevu stranu oba identiteta.
Poznavanje pravila za zamjenu operacija implikacije i ekvivalencije pomaže, na primjer, da se ispravno konstruiše negacija implikacije.
Razmotrite sljedeći primjer.
Neka se da izjava:
E = Nije tačno da ću, ako pobijedim na takmičenju, dobiti nagradu.
Neka A = Pobijedit ću na takmičenju,
B = Dobiću nagradu.
Onda
Odavde, E = Pobijediću na takmičenju, ali neću dobiti nagradu.